Fiche de révision : Algèbre linéaire et sous-espaces

📋 Plan du Cours

1. Combinaisons linéaires et familles
2. Sous-espaces et équations
3. Bases, coordonnées et supplémentaires

📖 1. Combinaisons linéaires et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Un vecteur v est une combinaison linéaire de v₁,…,vₖ s’il existe des réels λ₁,…,λₖ tels que v = λ₁v₁ + ⋯ + λₖvₖ.
• Famille libre : Une famille (v₁,…,vₖ) est libre si λ₁v₁ + ⋯ + λₖvₖ = 0 implique λ₁ = ⋯ = λₖ = 0.
• Famille liée : Une famille est liée s’il existe des coefficients non tous nuls tels que leur combinaison linéaire des vecteurs de la famille soit nulle.

📝 Points essentiels

• Pour tester si t est une combinaison linéaire de (u,v), on pose t = xu + yv, on égalise les composantes et on résout le système : une solution établit que t est une combinaison linéaire, tandis qu’un système impossible l’exclut.

💡 Astuce mémo

Famille libre : seule la combinaison nulle s’annule ; famille liée : une combinaison non triviale s’annule.

📖 2. Sous-espaces et équations

★ À maîtriser

📌 Une partie E de ℝⁿ est un sous-espace vectoriel si et seulement si elle contient le vecteur nul, est stable par addition et est stable par multiplication par un réel.

Compléments

📌 Une équation linéaire avec une constante non nulle, telle que 2x + 3y − z = d avec d ≠ 0, ne définit pas un sous-espace vectoriel, car le vecteur nul ne la vérifie pas.

• Pour obtenir une base à partir d’une équation cartésienne, on exprime une variable en fonction des autres, puis on écrit le vecteur général comme combinaison linéaire des vecteurs associés aux variables libres.

• Pour obtenir une équation à partir de générateurs, on pose v = xu₁ + yu₂ et on cherche les conditions de compatibilité entre les coordonnées de v.

📖 3. Bases, coordonnées et supplémentaires

★ À maîtriser

📌 Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre ou génératrice.

• Pour calculer les coordonnées de w dans la base (v₁,v₂,v₃), on pose w = λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ et on résout le système ; le triplet unique obtenu est celui des coordonnées de w.

📌 Deux sous-espaces E et F de ℝⁿ sont supplémentaires si et seulement si E ∩ F = {0} et dim(E) + dim(F) = n.

Compléments

• Pour tester si une famille est une base, on place ses vecteurs en colonnes et on applique le pivot de Gauss ; si le rang obtenu est égal à n, la famille est une base.