Famille libre : seule la combinaison nulle s’annule ; famille liée : une combinaison non triviale s’annule.
★ À maîtriser
📌 Une partie E de ℝⁿ est un sous-espace vectoriel si et seulement si elle contient le vecteur nul, est stable par addition et est stable par multiplication par un réel.
Compléments
1. Concernant la combinaison linéaire d’un vecteur par une famille donnée, quelles propositions sont exactes ?
2. Dans une base $(v_1,v_2,v_3)$, on cherche les coordonnées d’un vecteur $w$. Quelles sont les réponses exactes au sujet de cette démarche ?
3. Dans $\mathbb{R}^7$, deux sous-espaces $E$ et $F$ vérifient $E\cap F=\{0\}$, avec $\dim(E)=3$ et $\dim(F)=4$. Concernant leur caractère supplémentaire :
Quand un vecteur est-il une combinaison linéaire de ?
Lorsqu’il existe des réels tels que .
Quelle condition définit une famille libre ?
La relation impose .
Quand une famille de vecteurs est-elle liée ?
Lorsqu’une combinaison linéaire nulle de ses vecteurs possède des coefficients non tous nuls.
Comment tester si est une combinaison linéaire de ?
Poser , égaliser les composantes, puis résoudre le système obtenu.
Que conclut-on si le système obtenu pour admet une solution ?
est une combinaison linéaire de .
Que conclut-on si le système obtenu pour est impossible ?
n’est pas une combinaison linéaire de .
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