QCM : Algèbre linéaire et sous-espaces (3 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la combinaison linéaire d’un vecteur par une famille donnée, quelles propositions sont exactes ?

Il faut pouvoir écrire le vecteur comme une somme de multiples des vecteurs de la famille.
Les coefficients de cette écriture sont des nombres réels associés aux vecteurs de la famille.
Les coefficients d’une telle écriture doivent être des nombres complexes.
Une combinaison linéaire peut utiliser des coefficients réels nuls ou négatifs.
Une combinaison linéaire exige que le vecteur visé soit le vecteur nul.

Il faut pouvoir écrire le vecteur comme une somme de multiples des vecteurs de la famille. · Les coefficients de cette écriture sont des nombres réels associés aux vecteurs de la famille. · Une combinaison linéaire peut utiliser des coefficients réels nuls ou négatifs.

Explication

Une combinaison linéaire s’écrit comme une somme de multiples réels des vecteurs concernés ; ses coefficients sont donc réels et peuvent être nuls ou négatifs. Le vecteur obtenu n’a pas à être nul.

2. Dans une base $(v_1,v_2,v_3)$, on cherche les coordonnées d’un vecteur $w$. Quelles sont les réponses exactes au sujet de cette démarche ?

La résolution du système associé fournit le triplet des coordonnées de $w$.
On cherche des scalaires tels que $w=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3$.
Les coordonnées de $w$ sont les vecteurs $v_1,v_2,v_3$ eux-mêmes, dans cet ordre.
L’unicité du triplet obtenu découle du fait que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base.
Le triplet de coordonnées s’obtient en résolvant l’équation $w=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2$.

La résolution du système associé fournit le triplet des coordonnées de $w$. · On cherche des scalaires tels que $w=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3$. · L’unicité du triplet obtenu découle du fait que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base.

Explication

Les coordonnées sont les scalaires de la décomposition de $w$ sur les trois vecteurs de la base, et le système associé permet de les déterminer. Le triplet est unique ; omettre le troisième vecteur ou confondre les coordonnées avec les vecteurs de base ne donne pas cette décomposition.

3. Dans $\mathbb{R}^7$, deux sous-espaces $E$ et $F$ vérifient $E\cap F=\{0\}$, avec $\dim(E)=3$ et $\dim(F)=4$. Concernant leur caractère supplémentaire :

La condition dimensionnelle serait satisfaite si leurs dimensions totalisaient 6.
Les deux conditions réunies permettent de conclure que $E$ et $F$ sont supplémentaires.
Une intersection réduite à $\{0\}$ suffit à elle seule pour conclure qu’ils sont supplémentaires.
La somme de leurs dimensions vaut 7, ce qui satisfait la condition dimensionnelle.
Une intersection contenant un vecteur non nul resterait compatible avec leur caractère supplémentaire.

Les deux conditions réunies permettent de conclure que $E$ et $F$ sont supplémentaires. · La somme de leurs dimensions vaut 7, ce qui satisfait la condition dimensionnelle.

Explication

Les dimensions totalisent $3+4=7$, et l’intersection est réduite au vecteur nul : les deux conditions caractérisant des sous-espaces supplémentaires sont donc réunies. Une intersection nulle seule ou une somme des dimensions égale à 6 ne suffit pas, et une intersection non nulle contredirait le critère.

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Quand un vecteur vv est-il une combinaison linéaire de v1,…,vkv_1,\ldots,v_k ?

Lorsqu’il existe des réels λ1,…,λk\lambda_1,\ldots,\lambda_k tels que v=λ1v1+⋯+λkvkv=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_kv_k.

Quelle condition définit une famille libre (v1,…,vk)(v_1,\ldots,v_k) ?

La relation λ1v1+⋯+λkvk=0\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_kv_k=0 impose λ1=⋯=λk=0\lambda_1=\cdots=\lambda_k=0.

Quand une famille de vecteurs est-elle liée ?

Lorsqu’une combinaison linéaire nulle de ses vecteurs possède des coefficients non tous nuls.

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