QCM : Fonctions polynômes du second degré (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour développer 4(x−2)(x−5)4(x-2)(x-5), quelles propositions sont exactes ?

Le coefficient du terme en x2x^2 obtenu est 44.
Le coefficient du terme en xx obtenu est 2828.
Le terme constant vaut le produit de 44, de 22 et de 55.
La somme des deux nombres entre parenthèses détermine le coefficient linéaire avec un signe négatif.
Le terme constant obtenu est −40-40.

Le coefficient du terme en $$x^2$$ obtenu est $$4$$. · Le terme constant vaut le produit de $$4$$, de $$2$$ et de $$5$$. · La somme des deux nombres entre parenthèses détermine le coefficient linéaire avec un signe négatif.

Explication

Le développement donne 4x2−4(2+5)x+4×2×5=4x2−28x+404x^2-4(2+5)x+4\times2\times5=4x^2-28x+40. Ainsi, le coefficient du terme en xx n’est pas 2828 et le terme constant n’est pas −40-40.

2. Concernant la forme factorisée et les racines d’un trinôme :

Les nombres x1x_1 et x2x_2 sont les coefficients de la forme factorisée.
Tout trinôme du second degré admet une forme factorisée sur R\mathbb{R}.
Une racine réelle de la fonction vérifie l’équation f(x)=0f(x)=0.
Dans la forme factorisée, le coefficient aa est une solution de f(x)=0f(x)=0.
Une expression de la forme a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) est factorisée si a≠0a\ne0.

Une racine réelle de la fonction vérifie l’équation $$f(x)=0$$. · Une expression de la forme $$a(x-x_1)(x-x_2)$$ est factorisée si $$a\ne0$$.

Explication

La forme a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) est factorisée lorsque a≠0a\ne0, et ses racines annulent la fonction. Un trinôme sans racines réelles, comme x2+1x^2+1, n’a pas de forme factorisée sur R\mathbb{R} ; le coefficient aa n’est pas une solution, et x1,x2x_1,x_2 désignent les racines.

3. Un trinôme a pour coefficients a=2a=2 et b=−10b=-10, et l’on sait qu’il possède deux racines réelles. Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Le trinôme x2+1x^2+1 s’annule pour x=1x=1.
La somme de ses racines est égale à 55.
Le trinôme x2+1x^2+1 ne possède pas de forme factorisée sur R\mathbb{R}.
Le trinôme x2+1x^2+1 possède une forme factorisée sur R\mathbb{R}.
La somme de ses racines est égale à −5-5.

La somme de ses racines est égale à $$5$$. · Le trinôme $$x^2+1$$ ne possède pas de forme factorisée sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

La relation donne x1+x2=−b/a=−(−10)/2=5x_1+x_2=-b/a=-(-10)/2=5. Le trinôme x2+1x^2+1 ne s’annule ni pour x=1x=1 ni pour x=−1x=-1 et ne possède pas de forme factorisée sur R\mathbb{R}. Les sommes proposées autres que 55 ne respectent pas la relation.

4. Une fonction du second degré a un coefficient dominant positif et son axe de symétrie est x=2x=2. Quelles sont les propositions exactes concernant ses variations ?

La fonction croît avant 22 puis décroît après cette abscisse.
La fonction décroît lorsque xx augmente jusqu’à 22.
La fonction croît lorsque xx augmente après 22.
La fonction est décroissante sur R\mathbb{R}.
La fonction atteint un minimum à l’abscisse 22.

La fonction décroît lorsque $$x$$ augmente jusqu’à $$2$$. · La fonction croît lorsque $$x$$ augmente après $$2$$. · La fonction atteint un minimum à l’abscisse $$2$$.

Explication

Avec un coefficient dominant positif, la fonction décroît jusqu’à l’abscisse de l’axe, puis croît ; elle atteint donc un minimum à l’abscisse 22. Elle n’est pas décroissante sur R\mathbb{R}, et n’atteint pas un maximum à cette abscisse.

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Quel auteur décrit des transformations pour résoudre des équations du second degré vers 820-830 ?

Al-Khwarizmi.

En quelle période Al-Khwarizmi décrit-il ces transformations dans son traité d’algèbre ?

820-830.

Quelle forme définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\ne0.

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