Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Repères historiques de l’algèbre
2. Forme développée et forme factorisée
3. Racines et relations entre coefficients
4. Forme canonique et variations
5. Parabole et axe de symétrie

📅 Repères chronologiques

1. -1700Une tablette babylonienne conservée au British Museum présente des procédures de résolution d’équations du second degré et de systèmes d’équations.
2. 250Diophante amorce une écriture algébrique en nommant l’inconnue « Le Nombre » et en lui attribuant le symbole ς.
3. Vers 820-830Al-Khwarizmi décrit dans son traité d’algèbre des transformations permettant de résoudre des équations du second degré.
4. Entre 870-900Abu Kamil expose la résolution de l’équation de la forme x2+p=qxx^2+p=qxx2+p=qx uniquement lorsque les solutions sont positives.
5. Autour de 900Sridhar Acharya propose une méthode pour calculer les deux racines réelles.

📖 1. Repères historiques de l’algèbre

📝 Points essentiels

• En 1585, Stevin développe des idées suivies par Girard pour donner des exemples d’équations à racines négatives en 1629.

📖 2. Forme développée et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$ ; cette écriture est la forme développée.

📝 Points essentiels

• La forme développée d’une fonction polynôme du second degré est $ax^2+bx+c$, avec a comme coefficient du terme de degré 2, b comme coefficient du terme de degré 1 et c comme terme constant.

• Le développement de $a(x-x_1)(x-x_2)$ donne $ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$.

💡 Astuce mémo

La forme développée montre les coefficients ; la forme factorisée montre les racines

📖 3. Racines et relations entre coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\ne0$, est donnée sous forme factorisée.
• Racine : Un nombre réel qui vérifie $f(x)=0$ ; dans la forme factorisée, les racines sont x₁ et x₂.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un trinôme de coefficients a, b et c ayant pour racines x₁ et x₂, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

• La fonction $f(x)=x^2+1$ n’admet pas de forme factorisée sur ℝ.

📖 4. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : L’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

• L’extremum d’une fonction du second degré est égal à β et est atteint pour $x=\alpha$ dans sa forme canonique.

• Si $a>0$, la fonction du second degré est décroissante jusqu’à $x=\alpha$, puis croissante ; elle admet un minimum en α.

Compléments

• La forme canonique peut être obtenue par complétion du carré.

💡 Astuce mémo

Une parabole en bol si a > 0, renversée si a < 0

📖 5. Parabole et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentative d’une fonction $x\mapsto ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$.

★ À maîtriser

• L’axe de symétrie de la parabole représentant $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour équation $x=\alpha$.

Compléments

📐 Formule - L’abscisse du sommet de la parabole est la moyenne des racines : $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$.