Analyse approfondie de la fonction logarithme naturel

📋 Plan du Cours

1. Propriétés de ln en mathématiques
2. Dérivation de ln en mathématiques
3. Propriétés algébriques de ln en mathématiques
4. Limites et croissance de ln en mathématiques
5. Fonction ln en analyse mathématique

📖 1. Propriétés de ln en mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction ln : fonction définie sur ]0 ; +∞[, continue et strictement croissante, associant à chaque nombre positif son logarithme naturel.
• Continuité de ln : la fonction ln est continue sur son domaine ]0 ; +∞[.
• Croissance de ln : la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, ce qui implique que si ln(a) = ln(b), alors a = b ; si ln(a) < ln(b), alors a < b ; et si ln(a) ≤ ln(b), alors a ≤ b.
• Propriétés algébriques (voir section 3) : ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(a × b) = ln(a) + ln(b), ln(1/a) = -ln(a), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(aⁿ) = n ln(a).
• Limites de ln (voir section 4) : lim(x→0+) ln(x) = -∞, lim(x→+∞) ln(x) = +∞, lim(x→0+) x ln(x) = 0, lim(x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0.