Analyse Fonctionnelle et Probabilités

1. 📌 L'essentiel

• Un espace métrique est défini par une distance d vérifiant séparation, symétrie, triangle.
• Un espace vectoriel normé est complet (Banach) ou de Hilbert avec produit scalaire.
• La topologie est générée par la distance, avec notions de, convergence, compacité.
• Les séries de Fourier permettent l’analyse harmonique dans les espaces de fonctions.
• La mesure de Lebesgue étend l’intégration à des fonctions plus générales Riemann.
• Les espaces Lᵖ regroupent fonctions intégrables selon la norme ∥·∥ₚ.
• Les variables aléatoires sont caractérisées par leur loi, moments, indépendance.
• La transformée de Fourier possède des propriétés clés : linéarité, convolution, inversion.
• La convergence en probabilité, presque sûre, en Lᵖ, en loi, sont des notions fondamentales.
• Le théorème central limite explique la convergence vers la loi normale pour la somme de variables i.i.d.