Fiche de révision : Apprentissages du nombre et comptage

📋 Plan du Cours

1. Itération de l’unité et comptage-dénombrement
2. Comptage-numérotage et usages scolaires
3. Grandeur, quantité et représentations
4. Nombre comme relation entre quantités
5. Principes de comptage chez Gelman et Gallistel
6. Usages du mot cardinal
7. Évolution du principe cardinal
8. Accès à l’itération de l’unité
9. Choix didactiques du comptage
10. Nombre et mémoire des rangs
11. Nombre et mémoire des quantités
12. Critique du cardinal et de l’ordinal
13. Conclusion sur les pratiques de comptage

📖 1. Itération de l’unité et comptage-dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Itération de l’unité : Pierre Gréco, 1960, 1962, 1963 - Consiste à obtenir chaque quantité discrète en ajoutant une unité à la quantité précédente, ou en enlevant une unité à la quantité supérieure.
• Comptage-dénombrement : Enseignement du comptage qui fait comprendre que chaque nouveau mot-nombre désigne la pluralité formée par l’ajout d’une nouvelle unité.

💡 Astuce mémo

« 1 ; et-encore-1, 2 ; et-encore-1, 3 » : chaque ajout forme une nouvelle pluralité.

📖 2. Comptage-numérotage et usages scolaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Comptage-numérotage : Brissiaud, 1989, 1995 - Une façon d’enseigner où chaque mot-nombre est associé à une unité isolée et fonctionne comme une sorte de numéro.

📝 Points essentiels

• À partir de la deuxième partie des années 1980, l’école française a privilégié l’enseignement du comptage-numérotage plutôt que celui du comptage-dénombrement. - Brissiaud

💡 Astuce mémo

« Le deux » désigne un cube pointé ; « deux cubes » désigne la pluralité formée.

📖 3. Grandeur, quantité et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Collection-témoin organisée : Représente une quantité à une unité près et rend directement perceptibles les différences de un entre quantités successives.

📝 Points essentiels

📌 La grandeur renvoie à une appréciation approximative, tandis que la quantité correspond à une détermination exacte à une unité près. - André Lalande, Vocabulaire technique et critique de la philosophie, 1926-1988

📌 Une collection de cailloux non organisée symbolise une quantité, mais ne constitue pas un symbole numérique donnant un accès immédiat au nombre correspondant.

💡 Astuce mémo

La grandeur s’apprécie approximativement ; la quantité se vérifie à une unité près.

📖 4. Nombre comme relation entre quantités

📝 Points essentiels

📌 Newton distingue le nombre de la quantité : le nombre est un rapport abstrait entre deux quantités de même espèce, dont l’une est prise pour unité.

📌 L’Encyclopédie distingue la raison arithmétique, qui correspond à la différence entre deux quantités, de la raison géométrique, qui correspond à leur rapport. - d’Alembert, Bossut, de la Lande et Condorcet

📖 5. Principes de comptage chez Gelman et Gallistel

📝 Points essentiels

📌 Le Corre retient comme critère du principe cardinal la réussite à la tâche « Donne-moi N objets » pour N inférieur ou égal à 5, critère plus strict que répéter le dernier mot-nombre ou changer d’intonation à la question « Combien y a-t-il ? ». - Mathieu Le Corre, 2014

📌 L’accès au principe cardinal, compris comme la nominalisation d’une quantité représentée par une collection de numéros, ne coïncide pas avec l’accès au nombre, qui repose sur la comparaison des quantités.

• Le principe de correspondance 1 unité–1 mot demande de dire un mot-nombre différent pour chaque unité pointée. - Gelman et Gallistel, The Child’s Understanding of Number, 1978

• Le principe de suite stable exige que les mots-nombres soient produits dans le même ordre à chaque comptage. - Gelman et Gallistel, The Child’s Understanding of Number, 1978

• Selon le principe dit « cardinal » de Gelman et Gallistel, le dernier mot-nombre prononcé lors d’un comptage donnerait précocement accès à la « numerosity ». - The Child’s Understanding of Number, 1978

• Quatorze enfants sur les trente retenus échouent aux tâches d’estimation-comparaison et de comparaison, avec une réussite qui ne dépasse pas le hasard, bien qu’ils sachent donner 6 ou 10 unités. - Mathieu Le Corre, 2014

💡 Astuce mémo

Nominaliser une quantité n’équivaut pas à accéder au nombre

📖 6. Usages du mot cardinal

📝 Points essentiels

• Dans l’usage des numéraux, les cardinaux désignent des quantités, tandis que les ordinaux désignent des rangs.

• Pour les ensembles infinis, $\omega + 1$ et $\omega$ désignent le même cardinal mais des ordinaux distincts qui se suivent.

• Pour les ensembles finis, le nombre est à la fois mise en relation des quantités et mise en ordre de ces quantités ; distinguer un aspect cardinal et un aspect ordinal est donc contradictoire dans ce cadre. - Piaget & Szeminska, 1941

• Au XIXe siècle, les travaux de Cantor introduisent l’usage de « nombre cardinal » et de « nombre ordinal » pour distinguer des nombres infinis fondés respectivement sur la correspondance terme à terme et sur la création d’un ordre.

💡 Astuce mémo

Quantités finies : cardinal et ordinal se rejoignent ; infinis : cardinal et ordinal divergent

📖 7. Évolution du principe cardinal

🔑 Notions clés & Définitions

• Itération de l’unité : L’itération de l’unité, appelée ainsi par Gréco, est la propriété selon laquelle une quantité s’obtient en ajoutant une unité à la quantité précédente, ou en retirant une unité à la quantité supérieure.

📝 Points essentiels

📌 L’usage de « cardinal » pour désigner un usage des nombres ou des numéraux n’est pas le même que son usage mathématique pour qualifier certains nombres eux-mêmes, notamment les nombres infinis.

📌 Le critère renforcé du principe cardinal ajoute à la réussite de « Donne-moi N objets » jusqu’à 5 l’idée que l’enfant comprend l’itération de l’unité, au lieu de seulement répéter le dernier mot d’un comptage. - Sarnecka & Carey, 2008

• Sarnecka & Carey (2008) reformulent le principe cardinal comme l’idée que le numéral appliqué au dernier élément de l’ensemble représente le nombre d’éléments de cet ensemble.

💡 Astuce mémo

Polysémie de « cardinal » → confusion entre quantité et nombre

📖 8. Accès à l’itération de l’unité

📝 Points essentiels

📌 La réussite au principe cardinal compris comme nominalisation d’une quantité ne prouve pas que l’enfant maîtrise l’itération de l’unité ni qu’il accède au nombre.

• Izard, Pica, Spelke & Dehaene (2008) identifient l’égalité exacte et la fonction successeur comme deux concepts clés de l’accès aux nombres exacts. - Véronique Izard, Pierre Pica, Elizabeth Spelke et Stanislas Dehaene, Exact equality and successor fonction : Two Key Concepts on the Path towards Understanding Exact Numbers

• Rips présente l’itération de l’unité comme étant au cœur de la notion de nombre. - Lance Rips, Lines of Thought: Central Concepts in Cognitive Psychology, 2011

• La répétition du dernier mot d’un comptage-numérotage n’est retenue par aucun chercheur comme critère d’accès au nombre.

• L’appropriation de l’itération de l’unité est devenue une référence commune aux chercheurs comme porte d’entrée vers le nombre ou le nombre exact.

• Dans l’expérience de Davidson, Eng & Barner, après le dénombrement de 4 objets, l’ajout d’un objet suivi de la question « 5 ou 6 objets ? » met à l’épreuve la compréhension de l’ajout d’une unité ; certains enfants répondent au hasard et les échecs sont massifs avec de plus grandes collections.

💡 Astuce mémo

Égalité exacte des quantités → ajout d’une unité → nombre exact

📖 9. Choix didactiques du comptage

📝 Points essentiels

📌 Le premier choix didactique enseigne directement les nombres en s’appuyant sur l’itération de l’unité et les décompositions, tandis que le second enseigne d’abord la quantification par comptage-numérotage et reporte l’accès au nombre.

• Un élève peut lire « 347 » comme « trois-cent-quarante-sept » en appliquant des règles de lecture des colonnes sans comprendre que 3 signifie 3 fois 100 et 4 signifie 4 fois 10.

• Pour représenter une collection importante, les éléments peuvent cesser d’être une unité de compte adaptée et être remplacés par des unités plus grandes, comme la dizaine puis la centaine. - Brissiaud, 1989

• L’auteur considère que l’approche séparant mémoire de la quantité et mémoire de la position repose sur une conception erronée du nombre et constitue une variante du comptage-numérotage.

• Comprendre que « 6, c’est 5 et encore 1 » exige de considérer « 6 » et « 5 » à la fois comme des numéros et des pluralités, et de comprendre que le numéro « 6 » représente « 1 de plus ».

💡 Astuce mémo

Entrée directe dans le nombre contre quantification préalable par numéros

📖 10. Nombre et mémoire des rangs

📝 Points essentiels

📌 Le nombre peut garder la mémoire des rangs, mais il permet aussi de mettre ces rangs en relation, comme lorsque la 7e case est la 1re après la 6e et la 2e après la 5e.

• Résoudre un problème de repérage dans une file ne nécessite pas de savoir exprimer un nombre comme décomposition de nombres plus petits.

• Pour garder la mémoire d’un rang, l’usage de numéros suffit sans que le nombre soit nécessaire.

💡 Astuce mémo

Un numéro désigne un rang ; le nombre met les rangs en relation

📖 11. Nombre et mémoire des quantités

🔑 Notions clés & Définitions

• Dénombrement : Toute stratégie permettant d’accéder réellement au nombre, et non simplement de compter-numéroter les objets.

📝 Points essentiels

📌 Le nombre peut garder la mémoire des quantités, mais il est aussi un moyen de mettre les quantités en relation.

• Dans une tâche d’équipotence, compter-numéroter les objets des deux collections dans le même ordre permet de construire une collection équipotente sans mettre les quantités en relation.

• Mémoriser le dernier mot d’un comptage permet de représenter la quantité précédemment exprimée par une collection de numéros, sans comprendre la notion de nombre.

• Comprendre le nombre six suppose de le comparer aux nombres qui le précèdent et de s’intéresser à ses décompositions. - Brissiaud, Premiers Pas vers les Maths, 2007

• Les stratégies de décomposition-recomposition analysent une collection en sous-groupes, puis la désignent par l’expression de ces sous-groupes ou par le nom du nombre correspondant.

💡 Astuce mémo

Mémoriser une quantité par le dernier numéro ne suffit pas à la mettre en relation avec d’autres

📖 12. Critique du cardinal et de l’ordinal

📝 Points essentiels

📌 Le nombre ne peut être réduit ni à la quantité seule ni à la mise en ordre seule, car il met les quantités en relation selon leurs différences.

• La distinction entre deux prétendus aspects cardinal et ordinal du nombre est présentée par l’auteur comme un cadre théorique qui masque souvent l’apprentissage du comptage-numérotage.

💡 Astuce mémo

Quantité ou ordre isolés ne suffisent pas à constituer le nombre

📖 13. Conclusion sur les pratiques de comptage

📝 Points essentiels

• La quasi-totalité des chercheurs en psychologie des apprentissages numériques considèrent l’accès à l’itération de l’unité comme la porte d’entrée vers le nombre.

• Le comptage-dénombrement théâtralise l’itération de l’unité et attire l’attention sur ce qui fonde le nombre.

• Le comptage-numérotage crée un obstacle langagier à l’accès au nombre et peut enfermer les élèves les plus fragiles dans la représentation des quantités par des collections de numéros.

💡 Astuce mémo

Le comptage-dénombrement met en jeu l’unité ; le comptage-numérotage peut faire obstacle