Fiche de révision : Tests de comparaison des moyennes

📋 Plan du Cours

1. Hypothèses et comparaison des moyennes
2. Variabilité et test de l’écart réduit
3. Décision statistique et risques
4. Ampleur de l’effet et intervalle de confiance
5. Référence et données appariées
6. Petits échantillons et test de Student
7. Analyse de variance

📖 1. Hypothèses et comparaison des moyennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : L’hypothèse nulle H₀ pose l’absence de différence réelle entre deux groupes, soit une différence de moyennes égale à zéro.
• Hypothèse alternative : L’hypothèse alternative H₁ affirme qu’il existe une différence réelle entre deux groupes, soit une différence de moyennes non nulle dans un test bilatéral.

★ À maîtriser

📌 La significativité statistique indique si l’écart observé est compatible avec le hasard, tandis que la significativité clinique exprime l’ampleur et la pertinence clinique de cet écart.

Compléments

• Dans l’exemple de la parité maternelle, les poids moyens observés sont de 3,2 kg chez les nouveau-nés de mères primipares et de 3,4 kg chez ceux de mères multipares, soit un écart observé de 0,2 kg.

💡 Astuce mémo

H₀ pose l’égalité ; H₁ affirme une différence.

📖 2. Variabilité et test de l’écart réduit

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur type : L’erreur type mesure la variabilité de l’écart entre moyennes d’une expérience à l’autre et diminue lorsque les effectifs augmentent ou que la variabilité de la grandeur mesurée diminue.

★ À maîtriser

📐 Formule - La statistique de l’écart réduit est $z_{obs}=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$ pour deux échantillons indépendants.

• Sous H₀, les écarts entre les moyennes de deux échantillons issus d’une même population se répartissent autour de zéro selon une distribution normale, selon le théorème central limite.

Compléments

📐 Formule - Pour deux échantillons indépendants, l’erreur type de la différence des moyennes est approximativement $\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$.

📌 Lorsque chacun des deux échantillons indépendants compte au moins 30 sujets, le test de l’écart réduit est approximativement équivalent au test t de Student.

💡 Astuce mémo

Effectifs plus grands ou variabilité plus faible → erreur type plus petite.

📖 3. Décision statistique et risques

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur p : La valeur p est la probabilité, sous H₀, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée ; si elle est inférieure à α, H₀ est rejetée.
• Risque alpha : Le risque alpha est la probabilité de rejeter H₀ alors qu’elle est vraie, c’est-à-dire de conclure à tort à une différence réelle.
• Risque bêta : Le risque bêta est la probabilité d’accepter H₀ alors que H₁ est vraie, c’est-à-dire de ne pas détecter une différence réelle.

• Puissance statistique : La puissance statistique, égale à 1−β, est la capacité d’une étude à détecter une différence qui existe réellement.

★ À maîtriser

📌 Pour un test bilatéral au risque α de 5 %, la région de rejet de H₀ correspond à une statistique z inférieure à −1,96 ou supérieure à 1,96.

Compléments

• Pour une différence fixée, la puissance d’une étude augmente lorsque la taille des échantillons augmente ou que la variabilité entre individus diminue.

💡 Astuce mémo

Alpha = faux positif ; bêta = faux négatif.

📖 4. Ampleur de l’effet et intervalle de confiance

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intervalle de confiance à 95 % d’une différence estimée est calculé comme l’estimation plus ou moins 1,96 fois son erreur type : $\widehat{\Delta}\pm1{,}96\times SE(\widehat{\Delta})$.

• Dans l’exemple des nouveau-nés, la différence moyenne estimée est de 0,2 kg, avec une erreur type de 0,068 kg et un intervalle de confiance à 95 % compris entre 0,07 et 0,33 kg.

Compléments

📌 L’estimation de l’ampleur de l’effet et son intervalle de confiance renseignent sur la taille plausible de la différence, tandis que la significativité statistique renseigne sur la compatibilité des données avec H₀.

📖 5. Référence et données appariées

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillons appariés : Des échantillons appariés correspondent à des mesures dépendantes réalisées sur les mêmes sujets, comme une pression artérielle mesurée avant et après traitement.

★ À maîtriser

📌 Pour des mesures appariées, le test compare à zéro la moyenne des différences individuelles, par exemple les différences de pression artérielle avant moins après traitement.

• Les trois cadres de comparaison sont :
  • la comparaison de deux échantillons indépendants
  • la comparaison d’un échantillon à une référence
  • la comparaison de deux échantillons appariés

Compléments

📌 Dans un plan apparié, la variance de la différence entre les mesures ne s’obtient pas en additionnant simplement leurs variances.

• Pour comparer un échantillon à une référence, l’exemple mesure le poids utérin de 35 souris après traitement œstrogénique et le compare à la moyenne connue de 21 mg dans leur lignée.

• Dans l’exemple des souris, le poids utérin moyen après traitement est de 24 mg, l’écart type est de 5,76 mg et l’écart à la référence est de 3 mg, statistiquement significatif selon le test présenté.

• Dans l’exemple de pression artérielle appariée, la moyenne avant traitement est de 142,5 mm Hg, la moyenne après traitement est de 116,4 mm Hg, la différence moyenne avant moins après est de 26,1 mm Hg et l’écart type des différences est de 19,6 mm Hg.

• Dans cet exemple apparié, la différence moyenne avant moins après est statistiquement significative et son intervalle de confiance à 95 % est compris entre 19 et 33 mm Hg.

• Dans une étude avant-après, la différence observée peut être en partie liée à la régression à la moyenne, et le cours mentionne le plan en crossover pour prendre en compte ce phénomène.

💡 Astuce mémo

Indépendants : variances additionnées ; appariés : différences individuelles.

📖 6. Petits échantillons et test de Student

★ À maîtriser

📌 Pour les petits échantillons, le test t de Student suppose que la caractéristique étudiée suit une distribution normale et, pour comparer deux échantillons, que leurs variances sont égales.

Compléments

📐 Formule - Pour deux échantillons indépendants, le nombre de degrés de liberté du test t présenté est $ddl=(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2$.

• La distribution de Student est symétrique comme la distribution normale, mais sa dispersion dépend des effectifs des échantillons.

• Dans l’exemple des moyennes d’âge selon le sexe, les femmes hospitalisées pour un infarctus du myocarde sont en moyenne environ 12 ans plus âgées que les hommes, avec un intervalle de confiance à 95 % compris entre 11 et 13 ans et p<0,001.

📖 7. Analyse de variance

★ À maîtriser

📐 Formule - La variation totale est décomposée en variation inter-groupes et variation intra-groupe, selon $SCE_{totale}=SCE_{factorielle}+SCE_{résiduelle}$.

📐 Formule - Dans le tableau d’analyse de variance, les carrés moyens sont $CM_f=SCE_f/(c-1)$ et $CM_r=SCE_r/(n-c)$, puis la statistique de test est $F=CM_f/CM_r$.

📌 Dans le test F de l’analyse de variance, on rejette l’hypothèse d’égalité des moyennes lorsque la statistique F dépasse la valeur seuil correspondant aux degrés de liberté c−1 et n−c.

• L’analyse de variance compare des moyennes lorsque le critère de résultat est quantitatif et que les facteurs étudiés peuvent comporter plusieurs catégories.

Compléments

• Dans l’exemple de comparaison de deux groupes de poids, F=14,80 avec 1 et 18 degrés de liberté, dépasse la valeur seuil 4,5 et conduit au rejet de l’hypothèse d’égalité.

• Pour comparer deux moyennes, l’analyse de variance est équivalente au test t de Student selon la relation F=t².

• L’analyse de variance permet de comparer plus de deux groupes et de tester l’effet de plusieurs facteurs, par exemple le traitement et le type de régime alimentaire.

💡 Astuce mémo

Variance inter-groupes supérieure à la variance résiduelle → effet compatible avec une différence.