Fiche de révision : Ensembles nombres intervalles et valeurs absolues

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les ensembles
2. Ensembles de nombres
3. Inclusions et appartenance numériques
4. Intervalles de la droite réelle
5. Encadrement et valeurs approchées
6. Valeur absolue et distance

📖 1. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : La notation $A \subset B$ signifie que tout élément de l’ensemble A appartient aussi à l’ensemble B.
• Intersection : L’intersection de A et B, notée $A \cap B$, contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Union : L’union de A et B, notée $A \cup B$, contient les éléments qui appartiennent à A, à B ou aux deux ensembles.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E, noté Ā, est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles A et B sont disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément commun, ce qui s’écrit $A \cap B = \varnothing$.

📝 Points essentiels

• Pour passer par deux postes de contrôle ouverts respectivement de 7 h à 19 h et de 5 h à 14 h, il faut que les deux soient ouverts, donc $7 \leq t \leq 14$.

• Si l’un de deux postes ouverts respectivement de 7 h à 19 h et de 5 h à 14 h suffit pour passer, les horaires possibles vérifient $5 \leq t \leq 19$.

💡 Astuce mémo

L’intersection exige « et », tandis que l’union accepte « ou ».

📖 2. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels, noté ℕ, est constitué des entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, 4
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs, noté ℤ, est constitué des entiers positifs, négatifs et de zéro.
• Nombres rationnels : L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ, contient les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient $\frac{a}{b}$ d’entiers, avec $b \neq 0$.
• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux, noté D, contient les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.
• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, est l’ensemble des nombres que l’on peut repérer sur une droite graduée.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

📖 3. Inclusions et appartenance numériques

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres selon le schéma d’inclusions successives allant de ℕ à ℤ, puis à D, ℚ et ℝ.

Compléments

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel et ne peut donc pas s’écrire comme un quotient d’entiers.

• Les nombres $7$ et $\sqrt{9}$ appartiennent respectivement à ℕ et à ℤ, tandis que $-6$ n’appartient pas à ℕ.

• Le nombre $\frac{217}{125}$ appartient à D, tandis que $-\frac{13}{6}$ appartient à ℚ.

• Le nombre π n’appartient pas à ℚ, tandis que 3,14 appartient à ℚ.

• Le nombre $\frac{7}{9}$ n’appartient pas à D, tandis que $\sqrt{49}$ appartient à D.

📖 4. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est l’ensemble des nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement.

★ À maîtriser

📌 Dans un intervalle fermé comme [a ; b], les deux bornes sont incluses ; dans un intervalle ouvert comme ]a ; b[, elles sont exclues.

• Les inégalités $x < a$, $x \leq a$, $x > a$ et $x \geq a$ correspondent respectivement aux intervalles $]-\infty ; a[$, $]-\infty ; a]$, $]a ; +\infty[$ et $[a ; +\infty[$.

Compléments

• L’inégalité $a \leq x \leq b$ équivaut à $x \in [a ; b]$.

• L’ensemble des réels vérifie $\mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[$.

• ℝ⁺ est l’ensemble des réels positifs ou nuls et correspond à l’intervalle [0 ; +∞[.

• ℝ⁻ est l’ensemble des réels négatifs ou nuls et correspond à l’intervalle ]−∞ ; 0].

• ℝ* est l’ensemble des réels non nuls et correspond à l’union ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

📖 5. Encadrement et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Encadrer un réel x consiste à trouver deux réels a et b tels que $a < x < b$ ; a est la borne inférieure et b la borne supérieure.
• Amplitude : L’amplitude de l’encadrement $a < x < b$ est la différence $b-a$.

★ À maîtriser

📌 Une valeur approchée par défaut est inférieure au nombre encadré, tandis qu’une valeur approchée par excès lui est supérieure.

Compléments

• Un encadrement décimal de $\sqrt{2}$ d’amplitude $10^{-3}$ est $1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415$.

• L’arrondi de $\sqrt{2}$ à $10^{-1}$ près est 1,4, la borne la plus proche de l’encadrement à cette précision.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue de x, notée |x|, est égale à la distance entre x et 0.

★ À maîtriser

• Pour deux points A et M d’abscisses a et x, la distance AM est égale à $|x-a|$.

📐 Formule - Lorsque $x \geq 0$, on a $|x|=x$, et lorsque $x \leq 0$, on a $|x|=-x$.

Compléments

📐 Formule - Si $x \leq a$, alors $|x-a|=a-x$.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, la valeur absolue est la longueur du trajet entre deux points.