Fiche de révision : Arithmétique des nombres entiers

📋 Plan du Cours

1. Multiples, diviseurs et division euclidienne
2. Critères de divisibilité et nombres premiers
3. Diviseurs communs et PGCD
4. Nombres premiers entre eux
5. Décomposition en facteurs premiers

📖 1. Multiples, diviseurs et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Un entier d est un diviseur d’un entier a s’il existe un entier k tel que $a=k\times d$.
• Division euclidienne : Une division euclidienne est exacte lorsque le quotient est entier et que le reste est nul.
• Arithmétique : Science des nombres entiers et étude de leurs relations et propriétés.

📝 Points essentiels

📌 Pour une égalité comme $72=8\times9$, 8 est un diviseur de 72, 72 est divisible par 8 et 72 est un multiple de 8.

💡 Astuce mémo

Diviseur : on partage ; multiple : on obtient.

📖 2. Critères de divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 s’il est pair, donc si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5, divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et divisible par 10 s’il se termine par 0.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : les tests de divisibilité.

📖 3. Diviseurs communs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun ; le PGCD de 36 et 60 est 12.
• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD ; ainsi, $\frac{36}{60}=\frac{36\div12}{60\div12}=\frac{3}{5}$.

Compléments

• Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36, soit neuf diviseurs.

• Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60, soit douze diviseurs.

💡 Astuce mémo

Diviseurs communs → plus grand d’entre eux : le PGCD.

📖 4. Nombres premiers entre eux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Entiers dont le seul diviseur commun est 1.

📝 Points essentiels

• 12 et 35 sont premiers entre eux, car leur seul diviseur commun est 1, et la fraction $\frac{12}{35}$ est donc irréductible.

💡 Astuce mémo

Premiers entre eux : un seul diviseur commun, 1.

📖 5. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

• Tout nombre entier peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers en divisant successivement le nombre par des facteurs premiers jusqu’à obtenir 1.

• La fraction $\frac{600}{840}$ se réduit à $\frac{5}{7}$ après simplification par les facteurs premiers communs.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 600 est $600=2\times2\times2\times3\times5\times5$.

💡 Astuce mémo

On divise successivement par des facteurs premiers jusqu’à 1.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité