Fiche de révision : Les nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Notion de nombre
2. Entiers naturels et relatifs
3. Calcul dans les entiers relatifs
4. Divisibilité dans Z
5. Nombres décimaux
6. Nombres rationnels
7. Irrationalité de racine de deux

📖 1. Notion de nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre : Objet mathématique qui permet d’exprimer une quantité et qui s’écrit avec des chiffres, des lettres grecques, des signes ou une barre de fraction.

📝 Points essentiels

• Les écritures 2, π et 1/2 sont des nombres, représentant respectivement un nombre, le périmètre d’un cercle de diamètre 1 et la moitié de quelque chose.

📖 2. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des nombres entiers positifs et nuls.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs et négatifs.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble N est stable par addition et par multiplication, mais certaines soustractions et divisions peuvent sortir de N.

Compléments

• On a 3 ∈ N, 0 ∈ N et N = {0; 1; 2; ...}.

📌 L’ensemble N est inclus dans l’ensemble Z, ce qui se note N ⊂ Z, et Z est stable par addition, soustraction et multiplication.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs et nuls ; Z ajoute les entiers négatifs.

📖 3. Calcul dans les entiers relatifs

★ À maîtriser

• Pour additionner deux entiers relatifs de même signe, on conserve leur signe et on additionne leurs distances à 0.

• Pour additionner deux entiers relatifs de signes différents, on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à 0 et on soustrait la plus petite distance de la plus grande.

📌 Soustraire un entier relatif revient à additionner son opposé, ainsi 7 - 12 = 7 + (-12) = -5 et -7 - (-4) = -7 + 4 = -3.

Compléments

• Les calculs 2 + 7 = 9, -2 + (-7) = -9 et -18 + 5 = -13 illustrent l’addition d’entiers relatifs.

💡 Astuce mémo

Même signe : additionner les distances ; signes différents : soustraire les distances.

📖 4. Divisibilité dans Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour a, b ∈ Z, a divise b s’il existe k ∈ Z tel que $b = a \times k$ ; b est alors un multiple de a.
• Entier pair : Un entier n est pair s’il existe k ∈ Z tel que $n = 2k$.
• Entier impair : Un entier n est impair s’il existe k ∈ Z tel que $n = 2k + 1$.

★ À maîtriser

• Les critères de divisibilité sont les suivants: par 2, le chiffre des unités est pair, par 3, la somme des chiffres est divisible par 3, par 4, le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5, le chiffre des unités vaut 0 ou 5, par 6, le nombre est divisible par 2 et par 3, par 9, la somme des chiffres est divisible par 9, par 10, le chiffre des unités vaut 0

Compléments

📌 La somme de deux nombres pairs est un nombre pair, car si x = 2k et y = 2k′, alors x + y = 2(k + k′).

💡 Astuce mémo

Écriture comme multiple → divisibilité ; divisibilité → critères sur les chiffres.

📖 5. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire $d = \frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre ayant un nombre fini de chiffres après la virgule est décimal, mais l’écriture décimale infinie ne suffit pas à exclure la décimalité.

• Le nombre 1/3 n’est pas décimal, ce qui se note 1/3 ∉ D.

Compléments

• Le nombre 2,3 est décimal car $2{,}3 = \frac{23}{10}$.

• L’égalité 0,999... = 1 montre qu’un nombre décimal peut avoir une écriture décimale infinie.

💡 Astuce mémo

Écriture décimale finie ⇒ décimal, mais écriture décimale infinie ⇏ non-décimal.

📖 6. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire $\frac{a}{b}$ avec a ∈ Z, b ∈ N et b ≠ 0.
• Inverse : Nombre qui, multiplié par un nombre rationnel non nul x, donne 1 ; il se note $x^{-1}$ ou $\frac{1}{x}$.

★ À maîtriser

📌 Diviser par un nombre rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.

📌 L’ensemble Q est stable par addition, soustraction, multiplication et division par un nombre rationnel non nul.

Compléments

• Les nombres 1/3, 5 et 28,7 sont rationnels, car 5 = 5/1 et 28,7 = 287/10.

📖 7. Irrationalité de racine de deux

★ À maîtriser

• Le nombre √2 n’est pas rationnel, ce qui se note √2 ∉ Q.

• Pour démontrer par l’absurde que √2 ∉ Q, on suppose d’abord que √2 = a/b avec a ∈ Z, b ∈ N, b ≠ 0, et a/b irréductible.

📌 Le fait que a et b soient tous deux divisibles par 2 contredit l’hypothèse que la fraction a/b est irréductible.

Compléments

📐 Formule — De $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, on déduit $a^2=2b^2$, donc a² est pair et a est pair.

• Si a = 2k, alors l’égalité a² = 2b² donne b² = 2k², donc b² et b sont pairs.

💡 Astuce mémo

√2 rationnel → numérateur et dénominateur pairs → fraction non irréductible.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques