Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction trinôme et forme développée
2. Forme canonique et sommet
3. Résolution par forme canonique
4. Discriminant et solutions
5. Racines et factorisation
6. Somme et produit des racines

📖 1. Fonction trinôme et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme du second degré, tandis que la fonction $b(x)=7-x$ est affine car son coefficient de x² est nul.

Compléments

• Le polynôme $k(x)=(3x+2)(3-x)=-3x^2+7x+6$ est un trinôme de coefficients a = −3, b = 7 et c = 6.

💡 Astuce mémo

a ≠ 0 donne un trinôme ; a = 0 donne une fonction affine

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le point $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole et la droite d’équation $x=\alpha$ est son axe de symétrie.

Compléments

• Pour obtenir la forme canonique, on peut compléter le carré en reconnaissant le développement d’un carré, calculer α puis β = f(α), ou appliquer directement la mise sous forme canonique.

• La forme canonique de $B(x)=2x^2-4x+6$ est $B(x)=2(x-1)^2+4$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour du sommet S(α ; β)

📖 3. Résolution par forme canonique

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré par forme canonique, on transforme l’équation en égalité de carré, on isole le carré, on utilise une différence de carrés puis on applique la règle du produit nul.

• L’équation $-2x^2+5x=2$ a pour solutions $x=\frac12$ et $x=2$, donc son ensemble solution est $S=\left\{\frac12;2\right\}$.

Compléments

• Pour $-2x^2+5x-2$, la forme canonique est $-2\left(x-\frac54\right)^2+\frac98$.

💡 Astuce mémo

Canonique → carré isolé → différence de carrés → solutions

📖 4. Discriminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation admet une seule solution réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-12x+3$, le discriminant vaut $\Delta=(-12)^2-4\times2\times3=120$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune solution ; Δ = 0 : une solution ; Δ > 0 : deux solutions

📖 5. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Réel x₁ tel que $f(x_1)=0$, c’est-à-dire une solution de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, si $\Delta<0$, f ne se factorise pas dans ℝ ; si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Pour $f(x)=-9{,}01x^2+2x-84$, on obtient $\Delta=0{,}64>0$ et la factorisation $f(x)=-0{,}01(x-16)(x-50)$.

• Pour $h(x)=3x^2-2x+3$, on obtient $\Delta=0$, $x_0=3$ et la factorisation $h(x)=\frac13(x-3)^2$.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine l’existence et la forme de la factorisation

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines x₁ et x₂, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac ca$.

• Lorsqu’une racine évidente est connue, l’autre racine peut être calculée rapidement grâce à la somme ou au produit des racines.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-x-1$, 1 est une racine évidente et, comme $1\times x_2=-\frac12$, l’autre racine est $x_2=-\frac12$.

📌 Deux fonctions polynômes du second degré sont égales si et seulement si elles ont les mêmes coefficients.

💡 Astuce mémo

S = Somme = −b/a ; P = Produit = c/a

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions