QCM : Polynômes du second degré — 10 questions

Question 1

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=4x-7

f(x)=\frac{2}{x}+1

f(x)=6

f(x)=3x^2-5x+1

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , ce qui est le cas de la première expression. L’expression affine $4x-7$ ne contient pas de terme en $x^2$ et correspond donc à un coefficient $a=0$ .

Answer

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Question 2

2. Quels sont les coefficients du trinôme obtenu en développant $k(x)=(3x+2)(3-x)$ ?

a=-3,\ b=6,\ c=7

a=3,\ b=-7,\ c=6

a=-3,\ b=7,\ c=6

a=3,\ b=7,\ c=-6

Explication

En développant le produit, on obtient $k(x)=-3x^2+7x+6$ , donc les coefficients sont $a=-3$ , $b=7$ et $c=6$ . L’ordre des coefficients correspond respectivement aux termes en $x^2$ , en $x$ et constants.

Answer

$$a=-3,\ b=7,\ c=6$$

Question 3

3. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est la valeur de $\alpha$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=-4

\alpha=4

\alpha=2

\alpha=-2

Explication

On utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ avec $a=2$ et $b=-8$ , d’où $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$ . La valeur $-2$ provient d’une erreur de signe dans la formule.

Answer

$$\alpha=2$$

Question 4

4. Une parabole est donnée par $f(x)=-3(x-4)^2+7$ . Quel énoncé décrit correctement son sommet et son axe de symétrie ?

Son sommet est

S(-4;7)

et son axe est

x=-4

.

Son sommet est

S(4;7)

et son axe est

x=4

.

Son sommet est

S(4;-7)

et son axe est

x=-3

.

Son sommet est

S(7;4)

et son axe est

x=7

.

Explication

Dans la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et l’axe de symétrie est la droite $x=\alpha$ . Ici, $\alpha=4$ et $\beta=7$ , tandis que le coefficient $-3$ indique l’ouverture de la parabole.

Answer

Son sommet est $$S(4;7)$$ et son axe est $$x=4$$.

Question 5

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction qui ne comporte pas de terme en

x^2

.

Une fonction définie sur ℝ par

f(x)=ax^2+bx+c

, où

a, b, c

sont réels et

a \neq 0

.

Une fonction définie uniquement par une expression rationnelle sans terme en

x^2

.

Une fonction affine de la forme

f(x)=mx+n

, où

m

et

n

sont réels.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est précisément une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$ . La fonction affine, en revanche, n'a pas de terme en $x^2$ , ce qui la distingue.

Answer

Une fonction définie sur ℝ par $$f(x)=ax^2+bx+c$$, où $$a, b, c$$ sont réels et $$a \neq 0$$.

Question 6

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction polynôme du second degré soit appelée un trinôme ?

Elle doit être définie uniquement sur l'ensemble des réels.

Son coefficient de x² doit être différent de zéro.

Elle doit être une fonction affine.

Son coefficient de x doit être nul.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est appelée un trinôme lorsque son coefficient de x², noté a, est différent de zéro. Si a était nul, la fonction serait affine, pas un trinôme.

Answer

Son coefficient de x² doit être différent de zéro.

Question 7

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extmu})^2+\text{ extbeta}$ d'une fonction polynôme du second degré ?

Elle facilite la résolution de l'équation en isolant le terme en

x^2

.

Elle permet de déterminer facilement le sommet de la parabole.

Elle est utilisée pour transformer la fonction en une fonction affine.

Elle sert uniquement à calculer la dérivée de la fonction.

Explication

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, ce qui facilite son étude géométrique. La résolution d'équations ne se limite pas à cette forme, et elle ne concerne pas la dérivée ou la transformation en fonction affine.

Answer

Elle permet de déterminer facilement le sommet de la parabole.

Question 8

8. En quoi le discriminant $\triangle=b^2-4ac$ diffère-t-il de la formule de la somme des racines $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ pour un trinôme du second degré ?

Le discriminant indique le nombre de solutions réelles, tandis que la somme des racines donne la valeur combinée de ces solutions.

Le discriminant est utilisé pour calculer directement les racines, alors que la somme des racines ne donne aucune information sur leur valeur.

Le discriminant est une mesure de la concavité de la parabole, tandis que la somme des racines indique la position du sommet.

Le discriminant permet de déterminer si le trinôme peut être factorisé dans ℝ, alors que la somme des racines ne concerne que leur addition.

Explication

Le discriminant $\triangle$ indique si l'équation a zéro, une ou deux solutions réelles, alors que la formule de la somme des racines $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ donne la somme de ces solutions. La différence réside dans leur usage : l'un pour le nombre de solutions, l'autre pour leur relation mathématique.

Answer

Le discriminant indique le nombre de solutions réelles, tandis que la somme des racines donne la valeur combinée de ces solutions.

Question 9

9. Quelle est la conséquence d'un discriminant $\triangle$ négatif pour l'équation $ax^2+bx+c=0$ ?

L'équation a une seule solution réelle.

L'équation n'a pas de solutions réelles.

L'équation a une infinité de solutions.

L'équation a deux solutions réelles distinctes.

Explication

Un discriminant $\triangle<0$ indique qu'il n'y a pas de solutions réelles à l'équation. Si $\triangle=0$ , il y aurait une solution double, mais ce n'est pas le cas ici.

Answer

L'équation n'a pas de solutions réelles.

Question 10

10. Comment peut-on utiliser la formule de la somme et du produit des racines pour résoudre rapidement une équation quadratique dont on connaît une racine évidente ?

En utilisant la formule de la somme pour trouver l'autre racine, puis en factorisant le polynôme.

En appliquant directement la formule du discriminant pour déterminer si l'équation a deux solutions.

En substituant la racine connue dans la formule du produit pour calculer l'autre racine.

En utilisant la formule de la somme pour vérifier si la racine connue est la seule racine de l'équation.

Explication

En connaissant une racine, on peut utiliser la formule de la somme des racines $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ pour calculer l'autre racine. La formule du produit $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ peut aussi servir à vérifier la cohérence des racines trouvées, mais la première méthode est la plus directe pour résoudre rapidement l'équation.

Answer

En utilisant la formule de la somme pour trouver l'autre racine, puis en factorisant le polynôme.

QCM : Polynômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Quels sont les coefficients du trinôme obtenu en développant $k(x)=(3x+2)(3-x)$ ?

3. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est la valeur de $\alpha$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Une parabole est donnée par $f(x)=-3(x-4)^2+7$ . Quel énoncé décrit correctement son sommet et son axe de symétrie ?

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction polynôme du second degré soit appelée un trinôme ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extmu})^2+\text{ extbeta}$ d'une fonction polynôme du second degré ?

8. En quoi le discriminant $\triangle=b^2-4ac$ diffère-t-il de la formule de la somme des racines $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ pour un trinôme du second degré ?

9. Quelle est la conséquence d'un discriminant $\triangle$ négatif pour l'équation $ax^2+bx+c=0$ ?

10. Comment peut-on utiliser la formule de la somme et du produit des racines pour résoudre rapidement une équation quadratique dont on connaît une racine évidente ?

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QCM : Polynômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Quels sont les coefficients du trinôme obtenu en développant k(x)=(3x+2)(3−x)k(x)=(3x+2)(3-x)k(x)=(3x+2)(3−x) ?

3. Pour f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5f(x)=2x2−8x+5, quelle est la valeur de α\alphaα dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

4. Une parabole est donnée par f(x)=−3(x−4)2+7f(x)=-3(x-4)^2+7f(x)=−3(x−4)2+7. Quel énoncé décrit correctement son sommet et son axe de symétrie ?

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction polynôme du second degré soit appelée un trinôme ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique f(x)=a(x− extmu)2+ extbetaf(x)=a(x-\text{ extmu})^2+\text{ extbeta}f(x)=a(x− extmu)2+ extbeta d'une fonction polynôme du second degré ?

8. En quoi le discriminant △=b2−4ac\triangle=b^2-4ac△=b2−4ac diffère-t-il de la formule de la somme des racines x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}x1​+x2​=−ab​ pour un trinôme du second degré ?

9. Quelle est la conséquence d'un discriminant △\triangle△ négatif pour l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

10. Comment peut-on utiliser la formule de la somme et du produit des racines pour résoudre rapidement une équation quadratique dont on connaît une racine évidente ?

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2. Quels sont les coefficients du trinôme obtenu en développant $k(x)=(3x+2)(3-x)$ ?

3. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelle est la valeur de $\alpha$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Une parabole est donnée par $f(x)=-3(x-4)^2+7$ . Quel énoncé décrit correctement son sommet et son axe de symétrie ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\text{ extmu})^2+\text{ extbeta}$ d'une fonction polynôme du second degré ?

8. En quoi le discriminant $\triangle=b^2-4ac$ diffère-t-il de la formule de la somme des racines $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ pour un trinôme du second degré ?

9. Quelle est la conséquence d'un discriminant $\triangle$ négatif pour l'équation $ax^2+bx+c=0$ ?