QCM : Les nombres réels — 22 questions

Question 1

1. Quelle définition décrit correctement un nombre en mathématiques ?

Une figure géométrique qui représente une longueur et se construit avec une règle

Une unité de mesure qui indique une grandeur et s’utilise avec un instrument

Une opération qui transforme une quantité et s’effectue avec plusieurs calculs

Un objet mathématique qui exprime une quantité et s’écrit avec différents symboles

Explication

Un nombre est un objet mathématique permettant d’exprimer une quantité, avec une écriture utilisant notamment des chiffres, des lettres grecques, des signes ou une barre de fraction. Une figure, une opération ou une unité de mesure ne correspond pas à cette définition.

Answer

Un objet mathématique qui exprime une quantité et s’écrit avec différents symboles

Question 2

2. Laquelle de ces écritures représente un nombre utilisé pour exprimer la moitié d’une quantité ?

2\pi

\frac{2}{1}

\frac{1}{2}

\sqrt{2}

Explication

L’écriture $\frac{1}{2}$ représente la moitié de quelque chose. L’écriture $2\pi$ décrit une autre quantité, tandis que $\sqrt{2}$ et $\frac{2}{1}$ représentent également des nombres, mais pas la moitié d’une quantité.

Answer

$$\frac{1}{2}$$

Question 3

3. Quel élément appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

-1

-3,5

\frac{1}{2}

0

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ contient les entiers positifs et nuls, donc $0$ en fait partie. Les nombres négatifs, décimaux ou fractionnaires ne sont pas des entiers naturels.

Answer

L’addition et la multiplication donnent des résultats dans $$\mathbb{N}$$

Answer

L’ensemble des entiers positifs et négatifs

Answer

Conserver le signe négatif et additionner les distances à zéro

Answer

Conserver le signe de $$-9$$ et calculer $$9-4$$

Answer

$$-7+4=-3$$

Answer

Il existe un entier $$k$$ tel que $$b = a \times k$$.

Answer

$$n = 2k + 1$$ avec $$k \in \mathbb{Z}$$.

Answer

Son chiffre des unités est pair et la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Answer

$$x+y$$ est pair.

Answer

$$d=\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$.

Answer

Une écriture finie suffit pour appartenir à $$D$$, mais une écriture infinie ne l’exclut pas.

Answer

$$\frac{1}{3}\notin D$$.

Answer

$$a\in\mathbb{Z}$$, $$b\in\mathbb{N}$$ et $$b\neq0$$.

Answer

$$\frac{7}{5}$$

Answer

En calculant $$\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}$$.

Answer

La division par un nombre rationnel non nul.

Answer

Il est irrationnel, contrairement à $$\frac{1}{3}$$ qui est rationnel.

Answer

Supposer que $$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$, avec une fraction irréductible et $$a\in\mathbb{Z}$$, $$b\in\mathbb{N}$$ non nul.

Answer

Elle contredit le fait que la fraction $$\frac{a}{b}$$ a été choisie irréductible.

Question 4

4. Quelle propriété caractérise les opérations dans l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

Toutes les soustractions donnent des résultats dans

\mathbb{N}

La soustraction et la division donnent des résultats dans

\mathbb{N}

Toutes les divisions donnent des résultats dans

\mathbb{N}

L’addition et la multiplication donnent des résultats dans

\mathbb{N}

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ est stable par addition et par multiplication. Certaines soustractions, comme $2-5$ , ou certaines divisions, comme $1\div2$ , peuvent produire un résultat qui n’appartient pas à $\mathbb{N}$ .

Question 5

5. Comment définit-on l’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ ?

L’ensemble des entiers naturels strictement positifs

L’ensemble des entiers positifs et négatifs

L’ensemble des nombres rationnels positifs et négatifs

L’ensemble des entiers positifs et des nombres décimaux

Explication

L’ensemble $\mathbb{Z}$ regroupe les entiers positifs et négatifs, avec leurs opposés et zéro. Les nombres décimaux ou rationnels ne sont pas tous des entiers relatifs.

Question 6

6. Pour calculer $(-6)+(-4)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

Conserver le signe positif et soustraire les distances à zéro

Conserver le signe négatif et additionner les distances à zéro

Conserver le signe du premier nombre et soustraire les deux nombres

Changer les signes puis additionner les valeurs des deux nombres

Explication

Les deux nombres ont le même signe négatif : on additionne donc leurs distances à zéro, soit $6+4=10$ , puis on conserve le signe négatif. La soustraction des distances s’applique aux nombres de signes différents.

Question 7

7. Quelle méthode permet de calculer $(-9)+4$ ?

Conserver le signe de

-9

et calculer

9+4

Conserver le signe de

-9

et calculer

9-4

Conserver le signe de

4

et calculer

9-4

Conserver le signe de

4

et calculer

9+4

Explication

Les termes sont de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, soit $9-4=5$ , et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, ici le signe négatif. Additionner les distances donnerait une méthode réservée aux nombres de même signe.

Question 8

8. Quelle écriture transforme correctement la soustraction $-7-(-4)$ en addition ?

7+(-4)=3

-7+(-4)=-11

7+4=11

-7+4=-3

Explication

Soustraire un entier relatif revient à additionner son opposé : l’opposé de $-4$ est $4$ , donc $-7-(-4)=-7+4=-3$ . Conserver le signe négatif de $-4$ reviendrait à ne pas appliquer cette règle.

Question 9

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un entier $a$ divise un entier $b$ ?

La somme de leurs chiffres est divisible par

a

.

Il existe un entier

k

tel que

b = a \times k

.

Le chiffre des unités de

b

est égal à celui de

a

.

Il existe un entier

k

tel que

a = b \times k

.

Explication

La divisibilité signifie qu’il existe un entier $k$ vérifiant $b = a \times k$ ; dans ce cas, $b$ est un multiple de $a$ . La relation inverse proposée ne définit pas la divisibilité de $b$ par $a$ .

Question 10

10. Quelle écriture caractérise un entier impair ?

n = 3k

avec

k \in \mathbb{Z}

.

n = 2k + 1

avec

k \in \mathbb{Z}

.

n = 2k

avec

k \in \mathbb{Z}

.

n = 2k - 2

avec

k \in \mathbb{Z}

.

Explication

Un entier impair s’écrit $2k + 1$ avec un entier $k$ . L’écriture $2k$ caractérise au contraire un entier pair.

Question 11

11. Pourquoi le nombre 234 est-il divisible par 6 ?

Son chiffre des unités est pair et la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.

La somme de ses chiffres est divisible par 9.

Son chiffre des unités vaut 0 ou 5.

Explication

La divisibilité par 6 exige simultanément la divisibilité par 2 et par 3; 234 vérifie ces deux critères. Le critère des deux derniers chiffres concerne la divisibilité par 4.

Question 12

12. Si $x$ et $y$ sont deux entiers pairs, que peut-on conclure sur $x+y$ ?

x+y

est pair.

x+y

est nécessairement divisible par 3.

x+y

est nécessairement égal à zéro.

x+y

est impair.

Explication

En écrivant $x=2k$ et $y=2k'$ , on obtient $x+y=2(k+k')$ , qui est donc pair. La parité ne permet pas de conclure à une divisibilité par 3 ni à une valeur précise.

Question 13

13. Quelle forme suffit pour montrer qu’un nombre appartient à l’ensemble des nombres décimaux $D$ ?

d=\frac{a}{10^n}

avec

a\in\mathbb{Z}

et

n\in\mathbb{N}

.

d=\frac{a}{b}

avec

a\in\mathbb{Z}

et

b\in\mathbb{N}

non nul.

d=\frac{a}{3^n}

avec

a\in\mathbb{Z}

et

n\in\mathbb{N}

.

d=\frac{a}{b}

avec

a,b\in\mathbb{Z}

et

b

pair.

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ , où le dénominateur est une puissance de 10. Une écriture rationnelle générale ne garantit pas cette propriété, comme le montre $\frac{1}{3}$ .

Question 14

14. Quelle affirmation décrit correctement les écritures décimales et l’appartenance à $D$ ?

Une écriture finie suffit pour appartenir à

D

, mais une écriture infinie ne l’exclut pas.

Une écriture infinie prouve qu’un nombre n’appartient pas à

D

.

Une écriture infinie implique que le nombre est irrationnel.

Une écriture finie prouve qu’un nombre n’appartient pas à

D

.

Explication

Tout nombre ayant une écriture décimale finie appartient à $D$ , tandis qu’une écriture infinie peut aussi représenter un nombre décimal. Par exemple, $0,999\ldots=1$ fournit une écriture infinie d’un nombre décimal.

Question 15

15. Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant $\frac{1}{3}$ ?

\frac{1}{3}\in D

car son dénominateur est non nul.

\frac{1}{3}\in D

car son numérateur est entier.

\frac{1}{3}\notin D

.

\frac{1}{3}\notin D

car tout nombre rationnel est irrationnel.

Explication

Le nombre $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal, car il ne peut pas s’écrire avec un dénominateur égal à une puissance de 10. Il est toutefois rationnel, ce qui ne signifie pas qu’il soit irrationnel.

Question 16

16. Quelle condition est requise pour qu’un nombre soit écrit sous la forme rationnelle $\frac{a}{b}$ ?

a

et

b

sont positifs et leur somme vaut 1.

a\in\mathbb{Z}

,

b\in\mathbb{N}

et

a\neq0

.

a\in\mathbb{N}

,

b\in\mathbb{Z}

et

a\neq0

.

a\in\mathbb{Z}

,

b\in\mathbb{N}

et

b\neq0

.

Explication

Un nombre rationnel s’écrit $\frac{a}{b}$ avec $a$ entier, $b$ naturel et non nul. Le numérateur peut être nul, tandis que le dénominateur ne peut pas l’être.

Question 17

17. Quel nombre est l’inverse de $\frac{5}{7}$ ?

-\frac{5}{7}

\frac{7}{5}

\frac{2}{7}

\frac{5}{7}

Explication

L’inverse de $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$ , donne 1; l’inverse de $\frac{5}{7}$ est donc $\frac{7}{5}$ . L’opposé $-\frac{5}{7}$ donne un produit égal à $-\frac{25}{49}$ , et non à 1.

Question 18

18. Comment calculer $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$ en utilisant la règle de division des rationnels ?

En calculant

\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}

.

En calculant

\frac{3}{4}+\frac{2}{5}

.

En calculant

\frac{3}{4}-\frac{5}{2}

.

En calculant

\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}

.

Explication

Diviser par un rationnel non nul revient à multiplier par son inverse; l’inverse de $\frac{2}{5}$ est $\frac{5}{2}$ . Multiplier par $\frac{2}{5}$ correspondrait à une opération différente.

Question 19

19. Laquelle de ces opérations reste dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ lorsque les nombres utilisés sont rationnels et que le diviseur est non nul ?

La formation d’un quotient dont le dénominateur est nul.

L’extraction de la racine carrée de tout rationnel positif.

La division par zéro d’un nombre rationnel.

La division par un nombre rationnel non nul.

Explication

L’ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par addition, soustraction, multiplication et division par un rationnel non nul. La division par zéro n’est pas définie, tandis que la racine carrée d’un rationnel positif n’est pas toujours rationnelle.

Question 20

20. Quelle affirmation caractérise correctement le nombre $\sqrt{2}$ ?

Il est rationnel, comme

\frac{1}{3}

qui est rationnel.

Il est irrationnel, contrairement à

\frac{1}{3}

qui est rationnel.

Il est entier, contrairement à

\frac{1}{3}

qui est rationnel.

Il est naturel, comme

\frac{1}{3}

qui est rationnel.

Explication

Le nombre $\sqrt{2}$ n’appartient pas à $\mathbb{Q}$ , tandis que $\frac{1}{3}$ est rationnel. Confondre ces deux nombres revient à appliquer à $\sqrt{2}$ la propriété d’une fraction rationnelle.

Question 21

21. Quelle est la première étape d’une démonstration par l’absurde de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ ?

Supposer que

\sqrt{2}

est un entier, puis chercher sa décomposition en facteurs premiers.

Supposer que

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

, avec une fraction irréductible et

a\in\mathbb{Z}

,

b\in\mathbb{N}

non nul.

Supposer que

\sqrt{2}=a+b

, avec

a

et

b

deux entiers de signes opposés.

Supposer que

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

, avec

a

et

b

deux nombres naturels quelconques.

Explication

La preuve commence par l’hypothèse provisoire que $\sqrt{2}$ est rationnel et s’écrit sous forme d’une fraction irréductible. Cette hypothèse sera ensuite contredite, plutôt que de constituer la conclusion de la démonstration.

Question 22

22. Pourquoi la divisibilité simultanée de $a$ et $b$ par $2$ pose-t-elle problème dans cette démonstration ?

Elle contredit le fait que la fraction

\frac{a}{b}

a été choisie irréductible.

Elle établit que le quotient

\frac{a}{b}

est égal à

\sqrt{2}

.

Elle montre que la fraction

\frac{a}{b}

représente nécessairement un entier.

Elle prouve que

a

et

b

sont tous deux des nombres naturels positifs.

Explication

Une fraction irréductible ne possède pas de facteur commun non trivial à son numérateur et à son dénominateur. Si $a$ et $b$ sont tous deux divisibles par $2$ , l’hypothèse d’irréductibilité est donc contredite.

QCM : Les nombres réels — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle définition décrit correctement un nombre en mathématiques ?

2. Laquelle de ces écritures représente un nombre utilisé pour exprimer la moitié d’une quantité ?

3. Quel élément appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

4. Quelle propriété caractérise les opérations dans l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

5. Comment définit-on l’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ ?

6. Pour calculer $(-6)+(-4)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

7. Quelle méthode permet de calculer $(-9)+4$ ?

8. Quelle écriture transforme correctement la soustraction $-7-(-4)$ en addition ?

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un entier $a$ divise un entier $b$ ?

10. Quelle écriture caractérise un entier impair ?

11. Pourquoi le nombre 234 est-il divisible par 6 ?

12. Si $x$ et $y$ sont deux entiers pairs, que peut-on conclure sur $x+y$ ?

13. Quelle forme suffit pour montrer qu’un nombre appartient à l’ensemble des nombres décimaux $D$ ?

14. Quelle affirmation décrit correctement les écritures décimales et l’appartenance à $D$ ?

15. Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant $\frac{1}{3}$ ?

16. Quelle condition est requise pour qu’un nombre soit écrit sous la forme rationnelle $\frac{a}{b}$ ?

17. Quel nombre est l’inverse de $\frac{5}{7}$ ?

18. Comment calculer $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$ en utilisant la règle de division des rationnels ?

19. Laquelle de ces opérations reste dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ lorsque les nombres utilisés sont rationnels et que le diviseur est non nul ?

20. Quelle affirmation caractérise correctement le nombre $\sqrt{2}$ ?

21. Quelle est la première étape d’une démonstration par l’absurde de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ ?

22. Pourquoi la divisibilité simultanée de $a$ et $b$ par $2$ pose-t-elle problème dans cette démonstration ?

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QCM : Les nombres réels — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle définition décrit correctement un nombre en mathématiques ?

2. Laquelle de ces écritures représente un nombre utilisé pour exprimer la moitié d’une quantité ?

3. Quel élément appartient à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

4. Quelle propriété caractérise les opérations dans l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

5. Comment définit-on l’ensemble des entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z}Z ?

6. Pour calculer (−6)+(−4)(-6)+(-4)(−6)+(−4), quelle méthode faut-il appliquer ?

7. Quelle méthode permet de calculer (−9)+4(-9)+4(−9)+4 ?

8. Quelle écriture transforme correctement la soustraction −7−(−4)-7-(-4)−7−(−4) en addition ?

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un entier aaa divise un entier bbb ?

10. Quelle écriture caractérise un entier impair ?

11. Pourquoi le nombre 234 est-il divisible par 6 ?

12. Si xxx et yyy sont deux entiers pairs, que peut-on conclure sur x+yx+yx+y ?

13. Quelle forme suffit pour montrer qu’un nombre appartient à l’ensemble des nombres décimaux DDD ?

14. Quelle affirmation décrit correctement les écritures décimales et l’appartenance à DDD ?

15. Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant 13\frac{1}{3}31​ ?

16. Quelle condition est requise pour qu’un nombre soit écrit sous la forme rationnelle ab\frac{a}{b}ba​ ?

17. Quel nombre est l’inverse de 57\frac{5}{7}75​ ?

18. Comment calculer 34÷25\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}43​÷52​ en utilisant la règle de division des rationnels ?

19. Laquelle de ces opérations reste dans l’ensemble Q\mathbb{Q}Q lorsque les nombres utilisés sont rationnels et que le diviseur est non nul ?

20. Quelle affirmation caractérise correctement le nombre 2\sqrt{2}2​ ?

21. Quelle est la première étape d’une démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2\sqrt{2}2​ ?

22. Pourquoi la divisibilité simultanée de aaa et bbb par 222 pose-t-elle problème dans cette démonstration ?

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3. Quel élément appartient à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

4. Quelle propriété caractérise les opérations dans l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

5. Comment définit-on l’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ ?

6. Pour calculer $(-6)+(-4)$ , quelle méthode faut-il appliquer ?

7. Quelle méthode permet de calculer $(-9)+4$ ?

8. Quelle écriture transforme correctement la soustraction $-7-(-4)$ en addition ?

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un entier $a$ divise un entier $b$ ?

12. Si $x$ et $y$ sont deux entiers pairs, que peut-on conclure sur $x+y$ ?

13. Quelle forme suffit pour montrer qu’un nombre appartient à l’ensemble des nombres décimaux $D$ ?

14. Quelle affirmation décrit correctement les écritures décimales et l’appartenance à $D$ ?

15. Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant $\frac{1}{3}$ ?

16. Quelle condition est requise pour qu’un nombre soit écrit sous la forme rationnelle $\frac{a}{b}$ ?

17. Quel nombre est l’inverse de $\frac{5}{7}$ ?

18. Comment calculer $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$ en utilisant la règle de division des rationnels ?

19. Laquelle de ces opérations reste dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ lorsque les nombres utilisés sont rationnels et que le diviseur est non nul ?

20. Quelle affirmation caractérise correctement le nombre $\sqrt{2}$ ?

21. Quelle est la première étape d’une démonstration par l’absurde de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ ?

22. Pourquoi la divisibilité simultanée de $a$ et $b$ par $2$ pose-t-elle problème dans cette démonstration ?