Fiche de révision : Arithmétique : divisibilité et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Diviseurs et PGCD
3. Nombres premiers
4. Décomposition en facteurs premiers
5. PPCM et simplification des fractions

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à trouver deux nombres entiers q et r tels que $a=b\times q+r$ et $r<b$.
• Divisibilité : Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0 ; a est alors un multiple de b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, et par 6 s’il est divisible par 2 et par 3.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 714 par 5, le quotient est 142 et le reste est 4, car $714=5\times142+4$ et $4<5$.

💡 Astuce mémo

Reste nul : divisible ; reste non nul : seulement division euclidienne

📖 2. Diviseurs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers.

★ À maîtriser

• Pour trouver tous les diviseurs d’un entier N, on teste sa divisibilité par tous les entiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{N}$, puis on associe à chaque diviseur trouvé son quotient correspondant.

Compléments

• Les diviseurs communs de 80 et 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 20 et 40, donc $\operatorname{PGCD}(80;120)=40$.

💡 Astuce mémo

Tester jusqu’à √N, associer les paires, puis chercher le plus grand commun

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas premier car il admet un seul diviseur : 1.

• Pour démontrer que 227 est premier, on calcule $\sqrt{227}=15{,}06$ puis on teste sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à 15, à savoir 2, 3, 5, 7, 11 et 13 ; comme aucun ne le divise, 227 est premier.

💡 Astuce mémo

Premier = exactement deux diviseurs ; 0 et 1 échappent à la règle

📖 4. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier strictement supérieur à 2 se décompose de manière unique, à l’ordre près, en un produit de facteurs premiers.

• La décomposition en facteurs premiers de 1320 est $1320=2^3\times3\times5\times11$.

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit de tous les facteurs utilisés.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 1600 est $1600=2^6\times5^2$.

💡 Astuce mémo

Diviser par les facteurs premiers jusqu’à obtenir 1

📖 5. PPCM et simplification des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux nombres entiers.

★ À maîtriser

• Pour 12 et 18, $12=2^2\times3$ et $18=2\times3^2$ ; leur PGCD vaut 6 et leur PPCM vaut 36, soit $2^2\times3^2$.

Compléments

• Le PPCM de 5 et 7 vaut 35, car $5\times7=35$.

• La décomposition en facteurs premiers permet de simplifier au maximum une fraction en supprimant les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur.

💡 Astuce mémo

PGCD prend les exposants minimaux ; PPCM prend les exposants maximaux

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM