QCM : Arithmétique : divisibilité et nombres premiers — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi les nombres 0 et 1 ne sont-ils pas premiers ?

0 a un seul diviseur et 1 en a une infinité
Ils ont tous deux exactement deux diviseurs positifs
0 a une infinité de diviseurs et 1 n’en a qu’un seul
Ils ne sont pas positifs et ne peuvent donc pas être étudiés

0 a une infinité de diviseurs et 1 n’en a qu’un seul

Explication

Le nombre 0 est divisible par une infinité d’entiers, tandis que 1 possède seulement le diviseur 1. Aucun des deux ne satisfait donc la définition d’un nombre premier à deux diviseurs positifs.

2. Quel critère permet de conclure qu’un entier est divisible par 6 ?

La somme de ses chiffres est divisible par 9
Il est divisible par 2 et par 3
Ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4
Il se termine par 0 ou par 5

Il est divisible par 2 et par 3

Explication

La divisibilité par 6 exige simultanément la divisibilité par 2 et par 3. Le dernier chiffre suffit pour le critère de 5, tandis que la somme des chiffres intervient pour 3 ou 9.

3. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 13201320 ?

22×3×5×112^2\times3\times5\times11
23×32×5×112^3\times3^2\times5\times11
23×3×52×112^3\times3\times5^2\times11
23×3×5×112^3\times3\times5\times11

$$2^3\times3\times5\times11$$

Explication

La décomposition de 13201320 est 23×3×5×112^3\times3\times5\times11, et tous les facteurs indiqués sont premiers. Une expression contenant un facteur composé ou une puissance incorrecte ne constitue pas la décomposition recherchée.

4. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

Il possède au moins trois diviseurs positifs distincts
Il possède un seul diviseur positif, qui est lui-même
Il est divisible par tous les nombres entiers positifs inférieurs à lui
Il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même

Il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Un entier ayant davantage de diviseurs est composé, tandis qu’un entier ayant un seul diviseur, comme 1, n’est pas premier.

5. Quelle procédure permet de décomposer correctement un entier en facteurs premiers ?

Le diviser par des nombres composés jusqu’à obtenir un reste nul
Additionner des nombres premiers jusqu’à retrouver l’entier initial
Chercher un seul diviseur premier puis arrêter la décomposition
Le diviser successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1

Le diviser successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1

Explication

La méthode consiste à effectuer des divisions successives par des nombres premiers jusqu’à atteindre 1, puis à multiplier tous les facteurs utilisés. S’arrêter après un seul diviseur ou utiliser des nombres composés ne garantit pas une décomposition en facteurs premiers.

6. Que signifie l’affirmation « aa est divisible par bb » ?

Le diviseur bb est inférieur au quotient obtenu
Le reste de la division de aa par bb est égal à 0
Le reste de la division de aa par bb est inférieur à bb
Le quotient de la division de aa par bb est égal à 0

Le reste de la division de $$a$$ par $$b$$ est égal à 0

Explication

La divisibilité signifie que la division euclidienne de aa par bb donne un reste nul. Dans ce cas, aa est un multiple de bb et bb est un diviseur de aa.

7. Pour vérifier que 227227 est premier, quels diviseurs faut-il tester selon la méthode fondée sur sa racine carrée ?

Les diviseurs de 227 supérieurs ou égaux à 15
Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 et 13
Les nombres premiers 17, 19, 23 et 29
Tous les entiers de 1 à 227, sans calcul préalable

Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 et 13

Explication

Comme 227=15,06\sqrt{227}=15,06, il suffit de tester les nombres premiers inférieurs à 15 : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Si aucun ne divise 227, alors aucun facteur non trivial ne peut exister sous cette borne.

8. Comment définit-on le PGCD de deux nombres entiers ?

Comme leur plus petit multiple commun
Comme leur plus grand diviseur commun
Comme leur plus grand multiple commun
Comme leur plus petit diviseur commun

Comme leur plus grand diviseur commun

Explication

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux entiers. Le PPCM correspond au plus petit multiple commun, notion distincte souvent confondue avec le PGCD.

9. Dans une division euclidienne de aa par bb, quelles conditions vérifient le quotient qq et le reste rr ?

On a a=b×q+ra=b\times q+r avec r<br<b
On a a=b+q+ra=b+q+r avec r≤br\leq b
On a a=b+r×qa=b+r\times q avec r≤br\leq b
On a a=b×r+qa=b\times r+q avec q<bq<b

On a $$a=b\times q+r$$ avec $$r<b$$

Explication

La division euclidienne s’écrit sous la forme a=b×q+ra=b\times q+r, avec un reste strictement inférieur au diviseur. La divisibilité impose, elle, un reste nul, ce qui n’est pas requis dans toute division euclidienne.

10. Que signifie le PPCM de deux nombres entiers ?

Le plus grand de leurs multiples communs
Le plus petit de leurs multiples communs
Le plus grand de leurs diviseurs communs
Le produit de leurs facteurs premiers distincts

Le plus petit de leurs multiples communs

Explication

Le PPCM est le plus petit multiple qui soit commun aux deux nombres. Le plus grand diviseur commun correspond au PGCD, qui répond à une définition différente.

11. Pour 12=22×312=2^2\times3 et 18=2×3218=2\times3^2, comment obtient-on leur PPCM ?

En retenant chaque facteur avec son plus grand exposant, soit 3636
En additionnant les deux nombres, soit 3030
En retenant chaque facteur avec son plus petit exposant, soit 66
En multipliant leurs seuls facteurs communs, soit 66

En retenant chaque facteur avec son plus grand exposant, soit $$36$$

Explication

Le PPCM retient tous les facteurs premiers présents, avec le plus grand exposant observé : 22×32=362^2\times3^2=36. La règle des plus petits exposants produit ici le PGCD, égal à 66.

12. Quelle méthode permet de trouver tous les diviseurs d’un entier NN ?

Tester les entiers supérieurs à N\sqrt{N} puis rechercher leurs multiples
Tester les entiers jusqu’à N\sqrt{N} puis associer chaque diviseur à son quotient
Tester les nombres premiers jusqu’à NN puis additionner leurs exposants
Tester les entiers jusqu’à NN puis conserver les quotients obtenus

Tester les entiers jusqu’à $$\sqrt{N}$$ puis associer chaque diviseur à son quotient

Explication

Il suffit de tester la divisibilité par les entiers inférieurs ou égaux à N\sqrt{N}, car chaque diviseur trouvé possède un quotient associé. Tester directement tous les entiers jusqu’à NN est possible mais ne décrit pas la méthode attendue.

13. Quelle affirmation décrit correctement l’unicité de la décomposition en facteurs premiers d’un entier strictement supérieur à 2 ?

Elle est unique avec un ordre imposé des facteurs
Elle est unique à l’ordre près des facteurs
Elle varie selon la méthode de calcul utilisée
Elle dépend du premier diviseur choisi

Elle est unique à l’ordre près des facteurs

Explication

Tout entier strictement supérieur à 2 possède une décomposition en facteurs premiers unique, sauf pour l’ordre d’écriture des facteurs. L’ordre des facteurs peut donc changer sans modifier la décomposition obtenue.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 31 flashcards sur Arithmétique : divisibilité et nombres premiers.

Qu'est-ce que la division euclidienne de a par b ?

Trouver deux entiers q et r tels que a=b×q+ra=b\times q+r avec r<br<b.

Quand un nombre a est-il divisible par b ?

Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est zéro.

Que signifie qu'a est un multiple de b ?

Que b divise a sans reste.

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