Fiche de révision : Arithmétique et diviseurs

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Facteurs premiers et PGCD
4. PPCM et simplification des fractions

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à trouver deux entiers q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $r<b$.
• Divisibilité : Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, b est un diviseur de a, a est un multiple de b et a est divisible par b.

📝 Points essentiels

• Dans la division euclidienne de 278 par 45, on obtient $278=6\times45+8$ avec $8<45$.

• Un nombre pair peut s’écrire sous la forme $n=2k$ avec k entier, tandis qu’un nombre impair peut s’écrire sous la forme $n=2k+1$ avec k entier.

💡 Astuce mémo

Reste nul : divisibilité ; reste non nul : division avec reste.

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 3 si la somme de ses chiffres appartient à la table de 3, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités est 5, par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 et par 10 si son chiffre des unités est 0.

Compléments

• Le nombre 228 est divisible par 2, 3, 4 et 9.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : unités, somme, deux derniers chiffres.

📖 3. Facteurs premiers et PGCD

★ À maîtriser

• Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir les facteurs, puis on peut regrouper les facteurs identiques sous forme de puissances.

• La décomposition en facteurs premiers de 588 est $588=2\times2\times3\times7\times7=2^2\times3\times7^2$.

📌 Pour déterminer le PGCD de deux nombres à partir de leurs décompositions en facteurs premiers, on multiplie les facteurs premiers communs en prenant, pour chacun, le plus petit exposant.

Compléments

• Comme $60=2^2\times3\times5$ et $198=2\times3^2\times11$, leur PGCD vaut $2\times3=6$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, repérer les facteurs communs, choisir les plus petits exposants.

📖 4. PPCM et simplification des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun de plusieurs nombres.

📝 Points essentiels

📌 Pour déterminer le PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on multiplie tous les facteurs présents en prenant, pour chacun, le plus grand exposant.

• Pour simplifier une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs, puis on supprime les facteurs communs avant d’obtenir une fraction irréductible.

• Avec $12=2\times2\times3$ et $84=2\times2\times3\times7$, on obtient $\frac{12}{84}=\frac{1}{7}$ après simplification.

💡 Astuce mémo

Pour le PPCM, prendre les facteurs présents avec les plus grands exposants.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM par facteurs premiers