Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Types de nombres
2. Multiples et diviseurs
3. Nombres premiers
4. Nombres premiers entre eux
5. Critères de divisibilité
6. Troncature et valeurs approchées
7. Méthode des arrondis

📖 1. Types de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres entiers positifs et l’ensemble se note ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Entiers relatifs : Les nombres entiers positifs ou négatifs et l’ensemble se note ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Nombres décimaux : Les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

📝 Points essentiels

• Le nombre 5,324 est décimal car il s’écrit $5{,}324=\frac{5324}{1000}$, et l’entier 6 est aussi décimal car $6=\frac{60}{10}$.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est un multiple de b, b est un diviseur de a, b divise a et a est divisible par b.

📝 Points essentiels

• Comme $28=7\times4$, 28 est un multiple de 7 et de 4, tandis que 7 et 4 sont des diviseurs de 28.

• Tout nombre admet au moins deux diviseurs : lui-même et 1.

💡 Astuce mémo

Multiple : le nombre est produit ; diviseur : le nombre produit.

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : lui-même et 1.

★ À maîtriser

📌 Tous les nombres premiers sont impairs, à l’exception de 2.

Compléments

• Il existe une infinité de nombres premiers.

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

📖 4. Nombres premiers entre eux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont s’ils n’admettent aucun diviseur commun à l’exception de 1.

📝 Points essentiels

• Les nombres 15 et 28 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun est 1.

📌 Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

Premiers entre eux : un seul diviseur commun, 1 ; nombres premiers : deux diviseurs chacun.

📖 5. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Compléments

📌 Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et il est divisible par 10 s’il se termine par 0.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : unité, somme, deux derniers chiffres, unité, somme, dernier chiffre.

📖 6. Troncature et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Troncature : Couper au rang indiqué et à supprimer les chiffres situés à droite.
• Valeur approchée par défaut : La valeur approchée par défaut d’un nombre décimal à un rang donné est sa troncature à ce même rang.
• Valeur approchée par excès : La valeur approchée par excès d’un nombre décimal à un rang donné est le nombre immédiatement supérieur à sa troncature à ce rang.

📝 Points essentiels

• Pour 3,14159265, la valeur approchée par défaut au centième est 3,14 et la valeur approchée par excès au centième est 3,15.

💡 Astuce mémo

Tronquer, approcher par défaut ou excès, puis arrondir.

📖 7. Méthode des arrondis

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrondi : La valeur approchée, par défaut ou par excès, qui est la plus proche du nombre.

★ À maîtriser

• Pour calculer un arrondi, on examine la troncature au rang suivant : si son dernier chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, on choisit la valeur par défaut ; s’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on choisit la valeur par excès.

Compléments

• L’arrondi au centième de 3,14159265 est 3,14, car la troncature au millième est 3,141 et se termine par 1.

• L’arrondi au millième de 3,14159265 est 3,142, car la troncature au dix-millième est 3,1415 et se termine par 5.

💡 Astuce mémo

Chiffre suivant inférieur à 5 → défaut ; chiffre suivant au moins égal à 5 → excès.