Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers et factorisation
4. Diviseurs communs et PGCD

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : s’il existe un entier q tel que $a=b\times q$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une division euclidienne, $a=b\times q+r$ avec un reste $r<b$.

Compléments

• Comme le reste de la division euclidienne de 837 par 9 est nul, 837 est divisible par 9, 837 est un multiple de 9 et 9 est un diviseur de 837.

• Les diviseurs positifs de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité → multiple et diviseur

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Compléments

• 154 est divisible par 2, 525 est divisible par 3 car 5+2+5=12, 532 est divisible par 4, 115 et 220 sont divisibles par 5, 144 est divisible par 9 car 1+4+4=9, et 580 est divisible par 10.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : terminaison ou somme des chiffres

📖 3. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier qui n’est pas premier peut être décomposé en produit de facteurs premiers.

📐 Formule - Les décompositions en facteurs premiers sont $3528=2^3\times3^2\times7^2$ et $20580=2^2\times3\times5\times7^3$.

Compléments

• Les 25 nombres premiers jusqu’à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• La fraction $\frac{3528}{20580}$ se simplifie au maximum en $\frac{6}{35}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer → simplifier → retrouver les diviseurs

📖 4. Diviseurs communs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : le plus grand diviseur commun à deux nombres.
• Nombres premiers entre eux : s’ils n’ont que 1 pour diviseur commun, ce qui équivaut à avoir un PGCD égal à 1.

★ À maîtriser

• Pour déterminer le PGCD par décomposition en facteurs premiers, on prend pour chaque facteur premier l’exposant le plus petit dans les deux décompositions.

Compléments

• Les diviseurs communs à 72 et 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

• 15 et 22 sont premiers entre eux, car leurs seuls diviseurs communs sont 1 et $PGCD(15;22)=1$.

📐 Formule - Avec les décompositions de 3528 et 20580, $PGCD(3528;20580)=2^2\times3\times7^2=588$.

💡 Astuce mémo

PGCD supérieur à 1 : nombres non premiers entre eux ; PGCD égal à 1 : nombres premiers entre eux

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité