QCM : Arithmétique et divisibilité (8 questions)

Explication

La division euclidienne s’écrit $a=b\times q+r$, et le reste est strictement inférieur au diviseur $b$. Le quotient peut être nul ou supérieur à 1 ; c’est donc la condition sur le reste qui est déterminante.

Explication

Un entier $a$ est divisible par $b$ lorsqu’il peut s’écrire comme le produit de $b$ par un entier $q$. Une expression comportant une addition, une soustraction ou un reste égal à 1 ne suffit pas à établir cette divisibilité.

Explication

Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5, tandis qu’un nombre divisible par 10 doit se terminer par 0. Comme 135 se termine par 5, il vérifie le premier critère sans vérifier le second.

Explication

La somme des chiffres égale à 18 est divisible par 3 et par 9 ; le nombre vérifie donc les deux critères. La parité et la taille de la somme ne déterminent pas ces divisibilités.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, à savoir 1 et lui-même. Un entier composé peut être décomposé en facteurs premiers, mais cette propriété ne définit pas un nombre premier et sa décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Explication

Le PGCD de 3528 et 20580 se calcule en prenant, pour chaque facteur premier commun, le plus petit exposant, ce qui donne $2^2\times3\times7^2=588$. La valeur 294 correspond à une puissance de 2 insuffisante dans cette décomposition et ne représente donc pas le PGCD indiqué.

Explication

Le reste permet de savoir si la division est exacte : lorsqu’il est nul, le dividende est divisible par le diviseur et en est un multiple. Le quotient, lui, ne suffit pas à établir directement que le dividende est un multiple du diviseur.

Explication

La divisibilité par 2 dépend de la parité du dernier chiffre, alors que la divisibilité par 4 dépend du nombre formé par les deux derniers chiffres. La somme des chiffres intervient dans les critères de divisibilité par 3 et par 9, pas dans ceux de 2 ou de 4.