Fiche de révision : Arithmétique et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples et diviseurs
3. Critères de divisibilité
4. Recherche des diviseurs
5. Nombres premiers
6. Décomposition en facteurs premiers

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Division de a par b, avec a et b entiers positifs et b non nul, qui détermine un quotient q et un reste R tels que $a=b\times q+R$ et $0\le R<b$.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur et multiple : Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, b divise a, b est un diviseur de a, a est un multiple de b et a est divisible par b.

💡 Astuce mémo

Diviseur côté partage, multiple côté résultat

📖 3. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Un entier est divisible par 2 s’il est pair, par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres appartient respectivement à la table de 3 ou de 9, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📖 4. Recherche des diviseurs

📝 Points essentiels

📌 Pour trouver tous les diviseurs d’un entier positif N, il suffit de tester la divisibilité de N par tous les entiers inférieurs ou égaux à $\sqrt N$, puis d’associer à chaque diviseur trouvé son quotient.

💡 Astuce mémo

Tester jusqu’à √N, puis compléter par les quotients

📖 5. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• 2 est le seul nombre premier pair, tandis que 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.

• Pour prouver qu’un nombre est premier, on teste ses diviseurs jusqu’à sa racine carrée et on vérifie qu’il n’est divisible que par 1 et lui-même.

💡 Astuce mémo

Premier = seulement 1 et lui-même ; composé = au moins un autre diviseur

📖 6. Décomposition en facteurs premiers

📝 Points essentiels

📌 Tout entier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre près.

📐 Formule — La décomposition de 728 en facteurs premiers est $728=2^3\times7\times13$.

📐 Formule — La décomposition de 300 en facteurs premiers est $300=2^2\times3\times5^2$.

💡 Astuce mémo

Diviser par les plus petits nombres premiers jusqu’à 1

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité