QCM : Arithmétique et nombres premiers (14 questions)

Question 1

1. Dans la division euclidienne de $47$ par $6$ , quelles sont les valeurs du quotient et du reste ?

q=7

et

R=5

q=8

et

R=1

q=7

et

R=6

q=6

et

R=11

Explication

On a $47=6\times7+5$ , avec $0\le5<6$ , donc le quotient est $7$ et le reste est $5$ . Le quotient $8$ donnerait un produit supérieur à $47$ , tandis qu’un reste égal à $6$ ne respecterait pas la condition $R<6$ .

Answer

$$q=7$$ et $$R=5$$

Question 2

2. Quelle égalité représente correctement une division euclidienne d’un entier $a$ par un entier positif non nul $b$ ?

a=b+q\times R

avec

0\le q<b

a=q+R

avec

0\le R<b

a=b\times q+R

avec

0\le R<b

a=b\times R+q

avec

0\le R\le b

Explication

La division euclidienne s’écrit $a=b\times q+R$ et impose un reste compris entre $0$ et $b-1$ . La condition $R\le b$ autoriserait un reste égal au diviseur, ce qui n’est pas conforme à cette division.

Answer

$$a=b\times q+R$$ avec $$0\le R<b$$

Question 3

3. Si la division euclidienne de $84$ par $7$ a un reste nul, quelle affirmation est correcte ?

7

est un diviseur de

84

7

est un multiple de

84

84

est un diviseur de

7

84

n’est pas divisible par

7

Explication

Un reste nul signifie que $84$ est divisible par $7$ et que $7$ divise $84$ . Dans cette relation, $84$ est le multiple et $7$ est le diviseur, et non l’inverse.

Answer

$$7$$ est un diviseur de $$84$$

Question 4

4. Laquelle de ces situations traduit la relation « $a$ est un multiple de $b$ » ?

La division de

b

par

a

donne un reste nul

La division de

a

par

b

donne un reste nul

La somme de

a

et

b

est égale à zéro

Le chiffre des unités de

a

est identique à celui de

b

Explication

Dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie que $b$ divise $a$ , ce qui équivaut à obtenir un reste nul dans la division de $a$ par $b$ . Le reste nul dans la division inverse exprimerait une relation différente entre les deux nombres.

Answer

La division de $$a$$ par $$b$$ donne un reste nul

Question 5

5. Quel nombre est divisible par $3$ mais pas par $9$ ?

27

45

21

63

Explication

La somme des chiffres de $21$ vaut $3$ : elle est multiple de $3$ mais pas de $9$ . Pour $27$ , $45$ et $63$ , la somme des chiffres vaut $9$ , donc ces nombres sont aussi divisibles par $9$ .

Answer

Son chiffre des unités

Answer

Tester les entiers jusqu’à $$\sqrt N$$, puis associer chaque diviseur à son quotient

Answer

Le quotient $$N\div d$$

Answer

Il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même

Answer

2 est le seul nombre premier pair, tandis que 0 et 1 ne sont pas premiers

Answer

Tester ses diviseurs jusqu’à sa racine carrée et vérifier qu’il n’a que 1 et lui-même

Answer

Elle existe pour tout entier et elle est unique à l’ordre près

Answer

$$728=2^3\times7\times13$$

Answer

$$300=2^2\times3\times5^2$$

Question 6

6. Pour vérifier rapidement si un entier est divisible par $5$ ou par $10$ , quelle propriété faut-il examiner ?

La somme de tous ses chiffres

Son chiffre des unités

Son chiffre des dizaines

Le nombre total de ses chiffres

Explication

La divisibilité par $5$ ou $10$ dépend du chiffre des unités : il doit être $0$ ou $5$ pour $5$ , et $0$ pour $10$ . La somme des chiffres intervient plutôt dans les critères de divisibilité par $3$ et $9$ .

Question 7

7. Pour rechercher tous les diviseurs d’un entier positif $N$ , quelle méthode est suffisante ?

Tester les multiples de

N

jusqu’à

\sqrt N

, puis retenir les plus grands

Tester uniquement les nombres premiers inférieurs à

N

, puis additionner les résultats

Tester les entiers jusqu’à

\sqrt N

, puis associer chaque diviseur à son quotient

Tester les entiers jusqu’à

N

, sans rechercher les quotients associés

Explication

Tout diviseur inférieur ou égal à $\sqrt N$ peut être associé à un quotient qui fournit un autre diviseur. Tester jusqu’à $N$ fonctionne en théorie, mais ne correspond pas à la méthode efficace fondée sur la racine carrée.

Question 8

8. Lorsqu’un entier positif $N$ possède un diviseur $d$ trouvé avec $d\leq\sqrt N$ , quel autre diviseur faut-il lui associer ?

Le quotient

N\div d

La somme

N+d

Le produit

N\times d

La différence

N-d

Explication

Si $d$ divise $N$ , alors le quotient $N\div d$ est le diviseur associé formant avec $d$ un produit égal à $N$ . Les autres opérations proposées ne donnent pas nécessairement des diviseurs de $N$ .

Question 9

9. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

Il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même

Il possède au moins trois diviseurs positifs, dont 1 et lui-même

Il est nécessairement supérieur à 2 et possède un seul diviseur pair

Il est divisible par tous les nombres entiers qui lui sont inférieurs

Explication

Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Posséder davantage de diviseurs correspond au contraire à un nombre composé.

Question 10

10. Laquelle de ces affirmations concernant les nombres premiers est correcte ?

1 est le plus petit nombre premier et 2 est le seul nombre premier impair

2 est le seul nombre premier pair, tandis que 0 et 1 ne sont pas premiers

Tous les nombres pairs supérieurs à 1 sont premiers lorsqu’ils ont peu de diviseurs

0 est premier parce qu’il est divisible par 1 et 2 est un nombre composé

Explication

Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair, et ni $0$ ni $1$ ne vérifient la définition d’un nombre premier. La confusion fréquente consiste à attribuer à $1$ le statut de premier ou à oublier que $2$ l’est.

Question 11

11. Pour démontrer qu’un entier positif est premier, quelle vérification faut-il effectuer ?

Tester ses diviseurs jusqu’à sa racine carrée et vérifier qu’il n’a que 1 et lui-même

Vérifier qu’il est supérieur à 1, puis conclure sans rechercher de diviseur

Vérifier qu’il est impair, puis conclure qu’il possède deux diviseurs

Tester tous ses multiples jusqu’à sa racine carrée et vérifier qu’ils sont premiers

Explication

Il suffit de rechercher d’éventuels diviseurs jusqu’à la racine carrée, puis de vérifier que seuls $1$ et le nombre lui-même le divisent. Un nombre impair peut toutefois être composé, et être supérieur à $1$ ne suffit pas à établir sa primalité.

Question 12

12. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition d’un entier en facteurs premiers ?

Elle utilise des facteurs quelconques et elle dépend de l’ordre choisi

Elle existe pour tout entier et elle est unique à l’ordre près

Elle donne plusieurs produits premiers réellement différents pour un même entier

Elle existe pour certains entiers et elle impose un ordre fixe aux facteurs

Explication

Tout entier peut être écrit comme un produit de facteurs premiers, et cette écriture est unique si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs. Changer l’ordre d’écriture ne crée donc pas une nouvelle décomposition.

Question 13

13. Quelle est la décomposition de $728$ en facteurs premiers ?

728=2^2\times7^2\times13

728=2^3\times5\times19

728=2\times7\times13^2

728=2^3\times7\times13

Explication

La décomposition correcte est $728=2^3\times7\times13$ , soit $8\times7\times13=728$ . Les autres produits utilisent des exposants ou des facteurs qui ne redonnent pas le nombre $728$ .

Question 14

14. Quelle est la décomposition de $300$ en facteurs premiers ?

300=2^2\times3\times5^2

300=2^3\times3\times5^2

300=2\times3\times5^3

300=2^2\times3^2\times5

Explication

On a $300=2^2\times3\times5^2$ , car $4\times3\times25=300$ . Les autres expressions modifient l’exposant d’un facteur et donnent donc une valeur différente.

QCM : Arithmétique et nombres premiers (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans la division euclidienne de $47$ par $6$ , quelles sont les valeurs du quotient et du reste ?

2. Quelle égalité représente correctement une division euclidienne d’un entier $a$ par un entier positif non nul $b$ ?

3. Si la division euclidienne de $84$ par $7$ a un reste nul, quelle affirmation est correcte ?

4. Laquelle de ces situations traduit la relation « $a$ est un multiple de $b$ » ?

5. Quel nombre est divisible par $3$ mais pas par $9$ ?

6. Pour vérifier rapidement si un entier est divisible par $5$ ou par $10$ , quelle propriété faut-il examiner ?

7. Pour rechercher tous les diviseurs d’un entier positif $N$ , quelle méthode est suffisante ?

8. Lorsqu’un entier positif $N$ possède un diviseur $d$ trouvé avec $d\leq\sqrt N$ , quel autre diviseur faut-il lui associer ?

9. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

10. Laquelle de ces affirmations concernant les nombres premiers est correcte ?

11. Pour démontrer qu’un entier positif est premier, quelle vérification faut-il effectuer ?

12. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition d’un entier en facteurs premiers ?

13. Quelle est la décomposition de $728$ en facteurs premiers ?

14. Quelle est la décomposition de $300$ en facteurs premiers ?

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QCM : Arithmétique et nombres premiers (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans la division euclidienne de 474747 par 666, quelles sont les valeurs du quotient et du reste ?

2. Quelle égalité représente correctement une division euclidienne d’un entier aaa par un entier positif non nul bbb ?

3. Si la division euclidienne de 848484 par 777 a un reste nul, quelle affirmation est correcte ?

4. Laquelle de ces situations traduit la relation « aaa est un multiple de bbb » ?

5. Quel nombre est divisible par 333 mais pas par 999 ?

6. Pour vérifier rapidement si un entier est divisible par 555 ou par 101010, quelle propriété faut-il examiner ?

7. Pour rechercher tous les diviseurs d’un entier positif NNN, quelle méthode est suffisante ?

8. Lorsqu’un entier positif NNN possède un diviseur ddd trouvé avec d≤Nd\leq\sqrt Nd≤N​, quel autre diviseur faut-il lui associer ?

9. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

10. Laquelle de ces affirmations concernant les nombres premiers est correcte ?

11. Pour démontrer qu’un entier positif est premier, quelle vérification faut-il effectuer ?

12. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition d’un entier en facteurs premiers ?

13. Quelle est la décomposition de 728728728 en facteurs premiers ?

14. Quelle est la décomposition de 300300300 en facteurs premiers ?

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1. Dans la division euclidienne de $47$ par $6$ , quelles sont les valeurs du quotient et du reste ?

2. Quelle égalité représente correctement une division euclidienne d’un entier $a$ par un entier positif non nul $b$ ?

3. Si la division euclidienne de $84$ par $7$ a un reste nul, quelle affirmation est correcte ?

4. Laquelle de ces situations traduit la relation « $a$ est un multiple de $b$ » ?

5. Quel nombre est divisible par $3$ mais pas par $9$ ?

6. Pour vérifier rapidement si un entier est divisible par $5$ ou par $10$ , quelle propriété faut-il examiner ?

7. Pour rechercher tous les diviseurs d’un entier positif $N$ , quelle méthode est suffisante ?

8. Lorsqu’un entier positif $N$ possède un diviseur $d$ trouvé avec $d\leq\sqrt N$ , quel autre diviseur faut-il lui associer ?

13. Quelle est la décomposition de $728$ en facteurs premiers ?

14. Quelle est la décomposition de $300$ en facteurs premiers ?