Fiche de révision : Arithmétique et nombres

📋 Plan du Cours

1. Notion et écriture des nombres
2. Ensembles de nombres
3. Multiples et critères de divisibilité
4. Nombres premiers
5. Décomposition et fractions irréductibles

📖 1. Notion et écriture des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre : Concept qui permet d’exprimer une quantité.

📝 Points essentiels

• L’écriture décimale utilise dix symboles appelés chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

💡 Astuce mémo

Des doigts et des encoches prolongés par les dix chiffres de l’écriture décimale.

📖 2. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Ensemble des nombres entiers naturels contenant 0, les entiers positifs et chaque nombre obtenu en ajoutant 1 au précédent.
• Nombres relatifs : Ensemble des nombres entiers naturels ainsi que les nombres entiers négatifs.
• Nombres décimaux : Ensemble des entiers relatifs et des nombres dont la partie décimale est finie, qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale a/1, a/10, a/100 ou a/1000.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble Q des nombres rationnels contient les nombres déjà vus et tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient a/b.

• L’ensemble R des nombres réels contient les nombres rationnels ainsi que d’autres nombres, comme π ou √2, qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un quotient.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : du naturel au réel.

📖 3. Multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Entier naturel a tel qu’il existe un entier naturel k vérifiant $a=b\times k$.

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

• Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0, et il est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou de 9.

Compléments

• Dans l’égalité 56 = 7 × 8, 56 est un multiple de 7 et de 8, tandis que 7 et 8 sont des diviseurs de 56.

💡 Astuce mémo

Multiple : le nombre obtenu ; diviseur : le nombre qui produit.

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour utiliser le crible d’Ératosthène:

  1. Barre 1.
  2. Entoure 2.
  3. Barre tous les multiples de 2.
  4. Répète la procédure pour chaque nombre suivant non barré.

• Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

📌 Le nombre 2 est le seul nombre premier pair, tandis que 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs et 1 n’est pas premier car il n’en possède qu’un.

💡 Astuce mémo

Crible : entourer un premier, puis barrer ses multiples.

📖 5. Décomposition et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction qui ne peut pas être simplifiée.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel supérieur à 2 peut être décomposé de manière unique en produit de facteurs premiers.

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir le quotient 1.

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible:

  1. Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.
  2. Élimine les facteurs communs.
  3. Effectue les calculs restants.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 120 est $120=2^3\times3\times5$.

• La forme irréductible de la fraction 60/75 est 4/5.

💡 Astuce mémo

Décomposer en facteurs premiers → simplifier les facteurs communs.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres