Fiche de révision : Second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Racines et forme factorisée
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique du trinôme
5. Équations et discriminant

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $P(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels fixés avec $a\ne0$, et dont cette écriture est la forme développée.

📝 Points essentiels

• Les fonctions $f(x)=3x^2+2x-1$ et $g(x)=-3x^2+9$ sont des trinômes, tandis que $h(x)=2x^2-7+\frac1x$ n'est pas un trinôme.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d'un polynôme : Nombre réel x₁ tel que $P(x₁)=0$, c'est-à-dire solution de l'équation $P(x)=0$.

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine du trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, alors P se factorise sous la forme $P(x)=(x-x₁)(ax+d)$, où d est un réel à déterminer.

📌 Si un trinôme admet deux racines distinctes x₁ et x₂, sa forme factorisée est $P(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

Compléments

• Pour $P(x)=2(x+1)(x-2)$, l'équation $P(x)=0$ donne x=-1 ou x=2, donc P admet les deux racines -1 et 2.

• Le polynôme $f(x)=x^2+1$ n'admet aucune racine réelle car $x^2+1>0$ pour tout réel x et ne peut donc pas être factorisé sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Racine : valeur qui annule ; facteur : expression qui permet de factoriser.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f(x) admet x₁ et x₂ comme racines, leur somme vérifie $x₁+x₂=-\frac ba$ et leur produit vérifie $x₁x₂=\frac ca$.

• Pour $f(x)=2x^2-3x+1$, 1 est une racine évidente car $f(1)=0$, puis l'autre racine vaut $\frac12$ et la forme factorisée est $f(x)=2(x-1)(x-\frac12)$.

Compléments

• Lorsqu'une racine est connue, on peut déterminer l'autre en utilisant la somme ou le produit des racines, après avoir éventuellement repéré une racine évidente parmi 1, −1, 2 ou −2.

💡 Astuce mémo

S = Somme = −b/a ; P = Produit = c/a.

📖 4. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture unique d'une fonction polynôme de degré 2 sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour déterminer la forme canonique de f, on calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$.

📖 5. Équations et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec a, b et c réels fixés et $a\ne0$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$, noté Δ, est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ n'admet aucune solution dans ℝ.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l'équation admet une unique solution $x_0=\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l'équation admet deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune solution ; Δ=0 : une solution ; Δ>0 : deux solutions.