QCM : Second degré — 13 questions

Explication

Un trinôme s’écrit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, ce qui garantit la présence effective du degré deux. Le coefficient constant peut être nul et le terme en $x$ peut également manquer.

Explication

La fonction $g(x)=-3x^2+9$ possède un terme en $x^2$ de coefficient non nul et peut avoir un coefficient de $x$ égal à zéro. La présence de $\frac1x$ empêche en revanche $h$ d’être un polynôme du second degré.

Explication

Une racine est une valeur réelle qui annule le polynôme, donc qui vérifie $P(x_1)=0$. Un facteur algébrique de l’expression n’est pas nécessairement une valeur de $x$.

Explication

Le facteur associé à la racine $x_1$ est $x-x_1$, d’où la forme $P(x)=(x-x_1)(ax+d)$. Écrire $x+x_1$ correspondrait à une racine $-x_1$, et non à $x_1$.

Explication

Deux racines distinctes fournissent les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$, tandis que le coefficient dominant reste $a$. Les signes opposés dans les facteurs changeraient les valeurs des racines.

Explication

Les relations de Viète donnent la somme $-\frac ba$ et le produit $\frac ca$. La confusion fréquente consiste à échanger ces deux expressions ou à oublier le signe négatif de la somme.

Explication

On vérifie que $f(1)=0$, puis les relations entre les racines donnent l’autre valeur $\frac12$, d’où la factorisation indiquée. Les signes des facteurs doivent être choisis pour annuler le polynôme en $1$ et en $\frac12$.

Explication

La forme canonique s’écrit $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec les paramètres du sommet. Les coefficients $a$, $b$ et $c$ appartiennent à la forme développée et ne remplacent pas directement $\alpha$ et $\beta$.

Explication

Le calcul commence par $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis la valeur $\beta$ est obtenue en évaluant la fonction en $\alpha$. La confusion fréquente consiste à attribuer à $\beta$ la formule utilisée pour calculer $\alpha$.

Explication

Une équation du second degré possède la forme $ax^2+bx+c=0$ avec des coefficients réels fixés et $a\ne0$. Une équation linéaire ne contient pas de terme en $x^2$, tandis qu’un degré supérieur à deux ne relève pas de cette définition.

Explication

Le discriminant est le nombre $\Delta=b^2-4ac$, calculé à partir des trois coefficients du trinôme. L’expression $-\frac{b}{2a}$ correspond à la valeur de $\alpha$ dans la forme canonique, et non au discriminant.

Explication

Pour cette équation, $\Delta=3^2-4\times2\times5=-31<0$, donc elle n’a aucune solution dans $\mathbb{R}$. Une valeur de discriminant nulle donnerait une solution réelle unique, tandis qu’un discriminant positif en donnerait deux.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, les deux solutions se confondent et l’unique solution vaut $x_0=\alpha=-\frac{b}{2a}$. Les deux expressions contenant $\sqrt\Delta$ décrivent la situation générale du discriminant positif, tandis que $\beta$ est la valeur de la forme canonique.