Fiche de révision : Arithmétique et PGCD en 3e

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs et critères de divisibilité
2. Nombres premiers et décompositions
3. PGCD et fractions irréductibles
4. Répartition par diviseurs communs
5. PGCD et pavage rectangulaire

📖 1. Diviseurs et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Nombre qui partage exactement un entier, sans reste.

📝 Points essentiels

• Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on recherche toutes les multiplications de deux entiers dont le produit est ce nombre, puis on relève les deux facteurs de chaque produit.

📌 Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair, par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.

📖 2. Nombres premiers et décompositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les décompositions en facteurs premiers sont $72=2^3\times3^2$, $42=2\times3\times7$ et $120=2^3\times3\times5$.

📖 3. PGCD et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux nombres.

📝 Points essentiels

📌 Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1, ce qui équivaut à avoir un PGCD égal à 1.

📌 Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

💡 Astuce mémo

PGCD identifié → fraction simplifiée

📖 4. Répartition par diviseurs communs

📝 Points essentiels

📌 Pour former des paquets identiques en utilisant tous les objets, le nombre de paquets doit être un diviseur commun des quantités disponibles.

• Les diviseurs communs de 126 et 98 sont 1, 2, 7 et 14.

• Avec 126 bonbons au citron et 98 bonbons à l’orange, les possibilités sont 1, 2, 7 ou 14 paquets identiques.

• Pour répartir 320 bonbons et 280 chewing-gums en retirant 5 bonbons et 10 chewing-gums, on cherche le PGCD de 315 et 270, qui vaut 45.

💡 Astuce mémo

Diviser les stocks → trouver le PGCD → répartir

📖 5. PGCD et pavage rectangulaire

📝 Points essentiels

• Pour paver une terrasse rectangulaire avec des dalles carrées maximales, on convertit les longueurs en une même unité, on calcule leur PGCD, puis on divise chaque dimension par le côté obtenu.

• Le PGCD de 480 et 560 est 80.

• La terrasse nécessite 6 dalles dans la largeur et 7 dans la longueur, soit 42 dalles au total.

💡 Astuce mémo

PGCD des longueurs → côté maximal → nombre de dalles

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et fractions irréductibles