Fiche de révision : Polynômes du second degré et systèmes

📋 Plan du Cours

1. Formes du trinôme et parabole
2. Forme canonique et variations
3. Racines et factorisation
4. Équation du second degré
5. Vecteurs et équations de droite
6. Positions relatives des droites
7. Déterminant et solutions
8. Méthodes de résolution

📖 1. Formes du trinôme et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels connus et a ≠ 0.

★ À maîtriser

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole, tournée vers le bas si a < 0 et vers le haut si a > 0.

Compléments

📌 Pour f(x) = ax² + bx + c, le réel c est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées, car f(0) = c.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : parabole vers le bas

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré est f(x) = a(x − α)² + β, avec a ≠ 0.

📝 Points essentiels

• La parabole d’équation f(x) = a(x − α)² + β a pour sommet le point (α ; β) et pour axe de symétrie la droite x = α.

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c, la forme canonique s’obtient avec $α = -\frac{b}{2a}$ et $β = f(α)$.

📌 Si a < 0, f est croissante sur ]−∞ ; α[ puis décroissante sur ]α ; +∞[ ; si a > 0, f est décroissante puis croissante sur ces mêmes intervalles.

💡 Astuce mémo

Sommet (α,β) → axe x = α → variations selon le signe de a

📖 3. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine du polynôme : Nombre x₀ tel que f(x₀) = 0.
• Discriminant : Nombre Δ = b² − 4ac.

★ À maîtriser

📌 Si Δ < 0, le trinôme n’a pas de racine et ne peut pas être factorisé dans ℝ ; si Δ = 0, il possède la racine double x₀ = −b/(2a) et f(x) = a(x − x₀)² ; si Δ > 0, il possède deux racines distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a), avec f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Compléments

📌 Si f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), alors l’abscisse de l’axe de symétrie est α = (x₁ + x₂)/2.

📐 Formule — Lorsque Δ ≥ 0, les racines vérifient $x₁ + x₂ = -\frac{b}{a}$ et $x₁x₂ = \frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : racine double ; Δ > 0 : deux racines

📖 4. Équation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0 et b, c sont des réels.

★ À maîtriser

• Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac, puis on détermine le nombre de solutions selon le signe de Δ.

Compléments

📌 Les solutions réelles de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points d’intersection de la parabole y = ax² + bx + c avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les solutions → appliquer la formule

📖 5. Vecteurs et équations de droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur non nul est un vecteur directeur d’une droite lorsque ses coordonnées sont colinéaires à celles d’un vecteur reliant deux points de cette droite.
• Équation cartésienne : Équation de la forme ax + by + c = 0, avec a ≠ 0 ou b ≠ 0.
• Équation réduite : L’équation réduite d’une droite non verticale est y = mx + p, tandis que celle d’une droite verticale est x = k.

📝 Points essentiels

📌 Un vecteur directeur de la droite ax + by + c = 0 est le vecteur de coordonnées (−b ; a).

📌 Un vecteur directeur de y = mx + p est (1 ; m), tandis qu’un vecteur directeur de x = k est (0 ; k).

💡 Astuce mémo

Droite non verticale : y = mx + p ; droite verticale : x = k

📖 6. Positions relatives des droites

📝 Points essentiels

📌 Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ou, lorsqu’elles sont écrites sous forme réduite, si elles ont le même coefficient directeur.

• Pour déterminer le point d’intersection de deux droites non parallèles, on résout le système formé par leurs deux équations.

💡 Astuce mémo

Vecteurs colinéaires ou coefficients directeurs égaux : droites parallèles

📖 7. Déterminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Système à deux inconnues : Un système de deux équations à deux inconnues x et y s’écrit ax + by = c et a′x + b′y = c′, où les coefficients sont des réels connus.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le déterminant du système est $det(S) = ab′ - a′b$.

📌 Si det(S) ≠ 0, le système possède un seul couple solution ; si det(S) = 0, il possède soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

Compléments

• Chaque équation d’un système représente une droite, et résoudre le système revient à chercher les points d’intersection de ces deux droites.

💡 Astuce mémo

det nul : aucune ou infinité ; det non nul : une seule solution

📖 8. Méthodes de résolution

📝 Points essentiels

• Lorsque le déterminant est nul, on transforme les deux équations en équations réduites pour vérifier si les droites sont confondues ou strictement parallèles.

• Lorsque le déterminant est non nul, on résout le système par combinaison linéaire ou par substitution.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul : comparer les droites ; non nul : substitution ou combinaison

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Nombre de solutions d’un système