QCM : Auto-évaluation sur les vecteurs (8 questions)

Question 1

1. Pour deux points distincts A et B, quelle relation existe entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ?

Ils ont la même direction, des sens opposés et la même norme.

Ils ont des directions opposées, le même sens et la même norme.

Ils ont des directions et des sens opposés, ainsi que des normes différentes.

Ils ont la même direction, le même sens et des normes différentes.

Explication

Inverser l’ordre des extrémités conserve la direction et la longueur du vecteur, mais inverse son sens. L’expression « directions opposées » confond direction et sens, tandis que « même sens » ou « normes différentes » attribue à tort une propriété qui ne change pas.

Answer

Ils ont la même direction, des sens opposés et la même norme.

Question 2

2. Un vecteur $\overrightarrow{PQ}$ a une norme de 4 cm. Quelle caractéristique a le vecteur $2\overrightarrow{PQ}$ ?

Même direction et même sens, avec une norme de 8 cm.

Même direction et même sens, avec une norme de 4 cm.

Direction différente et même sens, avec une norme de 8 cm.

Même direction et sens opposé, avec une norme de 8 cm.

Explication

Multiplier un vecteur par 2 conserve sa direction et son sens, et multiplie sa norme par 2 : $2\times4=8$ cm. Le sens opposé correspondrait à un coefficient négatif, la norme de 4 cm oublierait le facteur 2, et la direction ne change pas.

Answer

Même direction et même sens, avec une norme de 8 cm.

Question 3

3. Deux vecteurs non nuls sont égaux. Quelles propriétés partagent-ils ?

La même direction, le même sens et la même norme.

Le même sens et la même norme, mais des directions différentes.

La même direction et la même norme, mais des sens opposés.

La même direction et le même sens, mais des normes différentes.

Explication

L’égalité de deux vecteurs exige qu’ils aient la même direction, le même sens et la même norme. Des normes égales ne suffisent pas si les sens sont opposés, et une différence de direction ou de norme empêche l’égalité.

Answer

La même direction, le même sens et la même norme.

Question 4

4. Pour construire un vecteur somme, on doit reporter successivement $\overrightarrow{UV}$ puis $-2\overrightarrow{WX}$ . Quelle construction convient pour le second terme ?

Reporter un vecteur de longueur identique, de sens opposé à

\overrightarrow{WX}

.

Reporter un vecteur de longueur moitié, de sens opposé à

\overrightarrow{WX}

.

Reporter un vecteur de longueur double, de sens opposé à

\overrightarrow{WX}

.

Reporter un vecteur de longueur double, de même sens que

\overrightarrow{WX}

.

Explication

Le coefficient $-2$ impose de doubler la longueur du vecteur et d’inverser son sens. Garder la longueur identique oublie le facteur 2, conserver le sens néglige le signe négatif, et prendre la moitié applique le mauvais coefficient.

Answer

Reporter un vecteur de longueur double, de sens opposé à $$\overrightarrow{WX}$$.

Question 5

5. Pour simplifier $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ , on veut utiliser la relation de Chasles en passant par le point intermédiaire Q. Quelle expression obtient-on ?

\overrightarrow{RP}

\overrightarrow{QR}-\overrightarrow{PQ}

\overrightarrow{QP}

\overrightarrow{PR}

Explication

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ lorsque l’arrivée du premier vecteur est le départ du second. $\overrightarrow{RP}$ inverse le sens du vecteur résultant, tandis que $\overrightarrow{QP}$ ne relie pas les extrémités de la somme.

Answer

$$\overrightarrow{PR}$$

Question 6

6. Pour simplifier $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$ , quelle démarche respecte les étapes de simplification d’une expression vectorielle ?

Regrouper les vecteurs écrits avec les mêmes lettres, puis décomposer

Remplacer la soustraction par l’opposé, décomposer avec Chasles, puis regrouper

Décomposer avec Chasles, puis conserver séparément tous les termes

Remplacer la soustraction par un vecteur de même sens, puis regrouper

Explication

La simplification consiste à transformer les soustractions en additions d’opposés, à décomposer les vecteurs par Chasles, puis à regrouper les termes semblables. Regrouper avant ces transformations ou conserver les termes séparés ne mène pas à la simplification attendue.

Answer

Remplacer la soustraction par l’opposé, décomposer avec Chasles, puis regrouper

Question 7

7. Dans une démonstration, une élève veut établir que les droites (d) et (e) sont parallèles à l’aide de vecteurs. Quelle propriété doit-elle montrer ?

Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Leurs vecteurs directeurs sont égaux

Leurs vecteurs directeurs sont perpendiculaires

Leurs vecteurs directeurs ont la même norme

Explication

Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Des vecteurs de même norme ou perpendiculaires ne suffisent pas à établir le parallélisme, et l’égalité des vecteurs est une condition plus forte que nécessaire.

Answer

Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Question 8

8. Dans un quadrilatère KALC, A est le milieu de [KB] et C le milieu de [DL]. Que peut-on conclure sur KALC à partir de ces seules informations ?

Il n’est pas nécessairement un parallélogramme

Il est nécessairement un parallélogramme

Ses diagonales ont nécessairement le même milieu

Ses côtés opposés sont nécessairement parallèles

Explication

Ces deux conditions de milieu ne suffisent pas à garantir que KALC est un parallélogramme. La conclusion automatique d’un parallélogramme confond les milieux indiqués avec ceux des diagonales, tandis que l’égalité des milieux des diagonales et le parallélisme des côtés opposés ne sont pas établis.

Answer

Il n’est pas nécessairement un parallélogramme

QCM : Auto-évaluation sur les vecteurs (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour deux points distincts A et B, quelle relation existe entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ?

2. Un vecteur $\overrightarrow{PQ}$ a une norme de 4 cm. Quelle caractéristique a le vecteur $2\overrightarrow{PQ}$ ?

3. Deux vecteurs non nuls sont égaux. Quelles propriétés partagent-ils ?

4. Pour construire un vecteur somme, on doit reporter successivement $\overrightarrow{UV}$ puis $-2\overrightarrow{WX}$ . Quelle construction convient pour le second terme ?

5. Pour simplifier $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ , on veut utiliser la relation de Chasles en passant par le point intermédiaire Q. Quelle expression obtient-on ?

6. Pour simplifier $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$ , quelle démarche respecte les étapes de simplification d’une expression vectorielle ?

7. Dans une démonstration, une élève veut établir que les droites (d) et (e) sont parallèles à l’aide de vecteurs. Quelle propriété doit-elle montrer ?

8. Dans un quadrilatère KALC, A est le milieu de [KB] et C le milieu de [DL]. Que peut-on conclure sur KALC à partir de ces seules informations ?

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QCM : Auto-évaluation sur les vecteurs (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour deux points distincts A et B, quelle relation existe entre les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}AB et BA→\overrightarrow{BA}BA ?

2. Un vecteur PQ→\overrightarrow{PQ}PQ​ a une norme de 4 cm. Quelle caractéristique a le vecteur 2PQ→2\overrightarrow{PQ}2PQ​ ?

3. Deux vecteurs non nuls sont égaux. Quelles propriétés partagent-ils ?

4. Pour construire un vecteur somme, on doit reporter successivement UV→\overrightarrow{UV}UV puis −2WX→-2\overrightarrow{WX}−2WX. Quelle construction convient pour le second terme ?

5. Pour simplifier PQ→+QR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}PQ​+QR​, on veut utiliser la relation de Chasles en passant par le point intermédiaire Q. Quelle expression obtient-on ?

6. Pour simplifier AB→−DC→+DA→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}AB−DC+DA, quelle démarche respecte les étapes de simplification d’une expression vectorielle ?

7. Dans une démonstration, une élève veut établir que les droites (d) et (e) sont parallèles à l’aide de vecteurs. Quelle propriété doit-elle montrer ?

8. Dans un quadrilatère KALC, A est le milieu de [KB] et C le milieu de [DL]. Que peut-on conclure sur KALC à partir de ces seules informations ?

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1. Pour deux points distincts A et B, quelle relation existe entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ?

2. Un vecteur $\overrightarrow{PQ}$ a une norme de 4 cm. Quelle caractéristique a le vecteur $2\overrightarrow{PQ}$ ?

4. Pour construire un vecteur somme, on doit reporter successivement $\overrightarrow{UV}$ puis $-2\overrightarrow{WX}$ . Quelle construction convient pour le second terme ?

5. Pour simplifier $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ , on veut utiliser la relation de Chasles en passant par le point intermédiaire Q. Quelle expression obtient-on ?

6. Pour simplifier $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$ , quelle démarche respecte les étapes de simplification d’une expression vectorielle ?