Fiche de révision : Calcul algébrique et équations

📋 Plan du Cours

1. Applications numériques et réduction
2. Développement et factorisation
3. Équations du premier degré
4. Produits nuls et inéquations

📖 1. Applications numériques et réduction

★ À maîtriser

• 🔄 Les calculs suivent cet ordre:

  1. Parenthèses
  2. Puissances
  3. Multiplications et divisions
  4. Additions et soustractions

• Pour $A=-x^2-3x+4$ avec $x=-2$, on obtient $A=-(-2)^2-3\times(-2)+4=6$.

• Pour réduire une somme, on regroupe les termes semblables afin de pouvoir additionner leurs coefficients.

Compléments

📌 Dans un calcul littéral appliqué à une grandeur physique, les unités doivent être homogènes avant le remplacement numérique.

📐 Formule — La résistance électrique vérifie $R=\frac{U}{I}$ ; avec $U=5\,\mathrm{V}$ et $I=800\,\mathrm{mA}=0{,}8\,\mathrm{A}$, on obtient $R=4\,\Omega$.

• La réduction de $3x^2+4x+5x^2-8x+2$ donne $8x^2-4x+2$.

💡 Astuce mémo

Priorités : parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions

📖 2. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en une somme ou une différence.
• Factorisation : Transformer une somme ou une différence en un produit.

★ À maîtriser

📐 Formule — La simple distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule — La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

📌 Pour factoriser avec la distributivité, on repère un facteur commun à tous les termes, selon $ka+kb=k(a+b)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit

📖 3. Équations du premier degré

★ À maîtriser

📌 Pour isoler une variable ou résoudre une équation du premier degré, on ajoute ou soustrait le même nombre dans chaque membre, puis on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre non nul.

• La résolution de $2x-5=4x+2$ conduit à $x=-3{,}5$, donc l’ensemble solution est $S=\{-3{,}5\}$.

Compléments

• Pour exprimer $B$ en fonction de $A$, $b$ et $h$ à partir de $A=\frac{B+b}{2}\times h$, on obtient successivement $\frac{2A}{h}=B+b$ puis $B=\frac{2A}{h}-b$.

• Pour réduire un produit de facteurs numériques et littéraux, on multiplie les nombres entre eux et les puissances de même base selon leurs exposants.

💡 Astuce mémo

Même opération dans les deux membres → variable isolée

📖 4. Produits nuls et inéquations

★ À maîtriser

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

• La résolution de $(2x-5)(4x+2)=0$ donne $x=\frac52$ ou $x=-\frac24=-0{,}5$, donc $S=\{2{,}5;-0{,}5\}$.

📌 Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Les équations du second degré $x^2=0$ ont pour solution $S=\{0\}$, $x^2=-5$ n’ont pas de solution réelle, et $x^2=37$ ont pour solutions $S=\{\sqrt{37};-\sqrt{37}\}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens de l’inégalité