Fiche de révision : Divisibilité et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Divisibilité et multiples
3. Diviseurs d’un nombre
4. Nombres premiers
5. Diviseurs communs
6. Critères de divisibilité

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à trouver deux nombres entiers positifs q et r tels que $a=q\times b+r$ et $r<b$.

★ À maîtriser

📌 Dans une division euclidienne, q est le quotient et r est le reste.

Compléments

• La division euclidienne de 65 par 9 donne un quotient égal à 7 et un reste égal à 2, car $65=7\times9+2$ et $2<9$.

📖 2. Divisibilité et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Lorsque la division euclidienne de a par b a un reste nul, a est un multiple de b et est divisible par b, tandis que b est un diviseur de a et divise a.

★ À maîtriser

📐 Formule — La divisibilité de a par b signifie qu’il existe un nombre entier positif k tel que $a=b\times k$.

Compléments

• Comme $40=5\times8$, 40 est un multiple de 8 et 8 est un diviseur de 40.

💡 Astuce mémo

Multiple du dividende, diviseur du nombre qu’il divise

📖 3. Diviseurs d’un nombre

★ À maîtriser

• Le nombre 1 est un diviseur de tout nombre entier positif.

• Pour rechercher les diviseurs d’un nombre, on les associe par paires et on les range dans l’ordre croissant afin de ne pas en oublier.

Compléments

• On atteint le milieu de la liste des diviseurs lorsqu’on atteint la racine carrée du nombre, comme pour 64 dont la racine carrée vaut 8.

• Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, associés par paires 1-12, 2-6 et 3-4.

💡 Astuce mémo

Les diviseurs avancent par paires autour de la racine carrée

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Le nombre 1 n’est pas premier car il admet un seul diviseur, lui-même.

• Le plus petit nombre premier est 2.

Compléments

• Les premiers nombres premiers dans l’ordre croissant sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 et 43.

💡 Astuce mémo

1 n’est pas premier, 2 est le premier nombre premier

📖 5. Diviseurs communs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : Nombre entier qui divise à la fois a et b.

📝 Points essentiels

• Pour trouver les diviseurs communs de 84 et 30, on liste les diviseurs de chaque nombre, puis on conserve ceux qui apparaissent dans les deux listes.

• Les diviseurs communs à 84 et 30 sont 1, 2, 3 et 6, et leur plus grand diviseur commun est 6.

💡 Astuce mémo

Lister les diviseurs de chacun, puis garder ceux qui apparaissent dans les deux listes

📖 6. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

• Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Compléments

• 5 172 est divisible par 3 mais pas par 9, car la somme de ses chiffres vaut 15, divisible par 3 mais pas par 9.

• 12 978 est divisible par 3 et par 9, car la somme de ses chiffres vaut 27, divisible par 3 et par 9.

• 736 est divisible par 4 car ses deux derniers chiffres, 36, forment un multiple de 4, tandis que 3 154 ne l’est pas car 54 n’est pas un multiple de 4.

💡 Astuce mémo

2-5-10 : derniers chiffres ; 3-9 : somme des chiffres ; 4 : deux derniers chiffres

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité