Fiche de révision : Calcul littéral et équations

📋 Plan du Cours

1. Réduire une expression littérale
2. Développer par distributivité
3. Reconnaître les identités remarquables
4. Factoriser une expression
5. Résoudre une équation linéaire
6. Résoudre par produit nul
7. Choisir la forme adaptée

📖 1. Réduire une expression littérale

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Expression qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres variables ou inconnus.
• Réduction : Regrouper uniquement les termes de même nature, c’est-à-dire ceux qui contiennent la même lettre et la même puissance, ainsi que les nombres seuls entre eux.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour réduire une expression, il faut suivre ces étapes:
  1. Repérer les termes de même nature
  2. Regrouper ceux qui contiennent la même lettre et la même puissance
  3. Regrouper les nombres seuls
  4. Écrire le résultat sous une forme ordonnée

📌 On peut additionner ou soustraire des termes semblables, mais des termes de natures différentes ne se regroupent pas.

Compléments

📌 Additionner deux termes variables identiques conserve leur nature et ne crée pas une puissance, contrairement à une multiplication.

💡 Astuce mémo

Termes semblables ensemble, termes différents séparés

📖 2. Développer par distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en somme ou en différence afin notamment de supprimer les parenthèses, de réduire l’expression ou de comparer deux écritures.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour développer une expression, il faut:
  1. Repérer le ou les facteurs
  2. Distribuer le facteur sur tous les termes concernés
  3. Respecter les signes
  4. Réduire l’expression obtenue

📌 Multiplier une somme revient à multiplier séparément chaque terme de cette somme par le facteur commun.

📌 Avec deux parenthèses, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Compléments

📌 Un signe négatif placé devant une parenthèse change le signe de tous les termes de la parenthèse.

💡 Astuce mémo

Distribuer, respecter les signes, réduire

📖 3. Reconnaître les identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité remarquable : Égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres et permettant de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions fréquentes.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour appliquer une identité remarquable, il faut:

  1. Identifier les deux éléments principaux
  2. Choisir l’identité adaptée
  3. Remplacer soigneusement chaque élément
  4. Développer ou factoriser selon le besoin

• Les carrés et la différence de deux carrés se reconnaissent grâce à leur structure, dans laquelle les signes sont essentiels.

📌 Le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés, car il contient aussi le double produit.

💡 Astuce mémo

Premier carré, double produit, second carré

📖 4. Factoriser une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Transformer une somme ou une différence en produit, forme utile notamment pour résoudre certaines équations et étudier le signe d’une expression.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour factoriser, il faut:
  1. Chercher un facteur commun numérique ou littéral
  2. Rechercher une identité remarquable s’il n’y en a pas
  3. Vérifier le résultat en redéveloppant mentalement
  4. Conserver la factorisation la plus complète possible

📌 Lorsqu’un même facteur apparaît dans plusieurs termes, on peut le mettre en facteur.

Compléments

📌 Une factorisation correcte doit redonner exactement l’expression de départ après développement.

💡 Astuce mémo

Facteur commun d’abord, identité remarquable ensuite

📖 5. Résoudre une équation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Égalité où l’inconnue n’apparaît qu’à la puissance un.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour résoudre une équation du premier degré, il faut:
  1. Développer si des parenthèses sont présentes
  2. Réduire chaque membre
  3. Regrouper les termes contenant l’inconnue dans un membre
  4. Regrouper les nombres dans l’autre membre
  5. Diviser par le coefficient de l’inconnue
  6. Vérifier la solution dans l’équation de départ

📌 On conserve les solutions d’une équation si l’on effectue la même opération sur les deux membres, en additionnant, soustrayant, multipliant ou divisant par un même nombre non nul.

Compléments

📌 Lorsqu’un terme change de membre dans une équation, son signe change parce que l’opération opposée est effectuée sur les deux membres.

💡 Astuce mémo

Développer, réduire, regrouper, diviser, vérifier

📖 6. Résoudre par produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Équation dans laquelle un produit est égal à zéro.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour résoudre une équation par factorisation, il faut:
  1. Mettre tous les termes dans le même membre
  2. Obtenir zéro dans l’autre membre
  3. Factoriser le membre non nul
  4. Appliquer le principe du produit nul
  5. Résoudre chaque équation obtenue

📌 Un produit est nul lorsqu’au moins l’un de ses facteurs est nul.

Compléments

• Pour un produit de deux facteurs du premier degré égal à zéro, on résout séparément les deux équations simples correspondant à chaque facteur nul.

💡 Astuce mémo

Produit égal à zéro → au moins un facteur est nul

📖 7. Choisir la forme adaptée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme utile : Utiliser l’écriture la plus adaptée à l’objectif, qu’il s’agisse de calculer, comparer, résoudre ou prouver une égalité.

★ À maîtriser

• Le choix de la forme dépend de l’objectif:
  • Réduire ou comparer des sommes : développer
  • Résoudre une équation égale à zéro : factoriser si possible
  • Vérifier une égalité : transformer les deux membres vers une même forme
  • Calculer mentalement : choisir la forme qui limite les opérations

📌 Une même expression peut avoir plusieurs écritures équivalentes représentant le même nombre pour les mêmes valeurs des lettres, mais ces écritures ne donnent pas les mêmes informations au premier regard.

Compléments

• Le lien essentiel entre les formes algébriques est l’équivalence entre la forme développée et la forme factorisée.

💡 Astuce mémo

Développée pour comparer, factorisée pour résoudre

📊 Tableaux de synthèse

Choisir l’outil algébrique