QCM : Calcul littéral et équations — 24 questions

Explication

Une expression littérale contient au moins une lettre représentant un nombre variable ou inconnu. Les autres expressions proposées ne contiennent que des nombres.

Explication

Les termes en $x$ se regroupent entre eux et les nombres seuls également, ce qui donne $4x-2x+7+3=2x+10$. Le terme constant ne peut pas être combiné avec un terme en $x$.

Explication

Deux termes contenant la même lettre avec la même puissance peuvent être additionnés en conservant leur nature, donc $5a+2a=7a$. Les autres égalités mélangent des termes de natures différentes ou les transforment à tort en produit.

Explication

Il faut regrouper les termes en $x$ puis les nombres seuls : $3x-7x=-4x$ et $5+2=7$. La forme ordonnée place ensuite le terme en $x$ avant le terme constant.

Explication

Développer consiste à supprimer des parenthèses en transformant un produit en somme ou en différence. Transformer une somme en produit correspond plutôt à factoriser.

Explication

Le facteur $3$ doit multiplier chacun des termes de la parenthèse : $3\times 2x=6x$ et $3\times(-5)=-15$. Le signe négatif du second terme est donc conservé.

Explication

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : $x\times2x+x\times(-3)+4\times2x+4\times(-3)$, puis on réduit. Les termes en $x$ donnent $-3x+8x=5x$.

Explication

Le développement exige d’identifier les facteurs, de distribuer sur tous les termes concernés, de conserver les signes et de réduire le résultat. Les autres suites mélangent des opérations qui ne correspondent pas à ce processus.

Explication

Une identité remarquable est vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres et permet de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions. Elle ne dépend donc pas d’une valeur numérique particulière.

Explication

La différence de deux carrés s’écrit $a^2-b^2$ et se reconnaît notamment au signe négatif entre les deux carrés. L’expression $(a-b)^2$ est le carré d’une différence et possède une structure différente.

Explication

Il faut d’abord reconnaître les deux éléments principaux, sélectionner l’identité adaptée et remplacer soigneusement chaque élément avant de développer ou de factoriser. Négliger les signes ou les éléments identifiés conduit à une mauvaise identité.

Explication

Le développement de $(a+b)^2$ contient les termes carrés et le double produit $2ab$. La somme $a^2+b^2$ ne comporte pas ce terme supplémentaire.

Explication

Factoriser consiste à réécrire une somme ou une différence sous forme de produit, ce qui facilite notamment l’étude du signe. Développer réalise la transformation inverse, tandis que réduire ne change pas nécessairement la structure de l’expression.

Explication

Les deux termes sont divisibles par $3$, donc $3$ est un facteur commun et l’expression devient $3(2x+3)$. Le facteur $x$ n’apparaît pas dans le terme constant $9$.

Explication

La méthode consiste à rechercher d’abord un facteur commun, puis une identité remarquable si nécessaire, et à contrôler le résultat en redéveloppant. Une simple parenthèse ajoutée sans vérification ne garantit pas une factorisation correcte.

Explication

Dans une équation du premier degré, l’inconnue apparaît à la puissance un, comme dans $3x+2=11$. Une puissance supérieure à un ou une racine correspond à une autre forme d’équation.

Explication

Ajouter le même nombre aux deux membres conserve l’égalité et donc les solutions. Les opérations effectuées sur un seul membre ou avec des nombres différents modifient l’équation.

Explication

Il faut développer les parenthèses, réduire chaque membre, regrouper les termes en $x$ et les nombres, diviser par le coefficient de $x$, puis vérifier. Le produit nul ne s’applique pas à cette équation, qui n’est pas présentée comme un produit égal à zéro.

Explication

Une équation produit nul contient un produit dont la valeur est égale à zéro, par exemple $(x-2)(x+1)=0$. Le principe associé ne concerne pas directement une somme égale à zéro.

Explication

Un produit est nul dès qu’au moins un de ses facteurs est nul, ce qui permet d’étudier séparément les facteurs. Il n’est pas nécessaire que les deux facteurs soient nuls ni qu’ils aient le même signe.

Explication

Il faut factoriser le membre non nul, obtenir un produit égal à zéro, puis résoudre séparément l’équation correspondant à chaque facteur nul. Diviser par $x$ peut supprimer une solution et ne constitue pas l’application du principe du produit nul.

Explication

La forme adaptée dépend de l’objectif mathématique visé, car une écriture peut être avantageuse pour calculer mais moins lisible pour résoudre. Choisir une transformation automatique sans tenir compte de l’objectif ne garantit pas une forme utile.

Explication

Des écritures équivalentes donnent le même nombre pour les mêmes valeurs des lettres, tout en révélant des structures différentes au premier regard. Dire qu’elles représentent des nombres différents contredit précisément la notion d’équivalence.

Explication

La factorisation transforme l’équation en un produit nul, ce qui permet d’exploiter la propriété selon laquelle un produit nul conduit à rechercher les facteurs nuls. La forme développée est plutôt privilégiée pour réduire ou comparer des sommes.