Fiche de révision : Calcul littéral et expressions algébriques

📋 Plan du Cours

1. Réduire des expressions
2. Calculer une expression
3. Développer et factoriser
4. Supprimer les parenthèses
5. Distributivité double
6. Méthodes de factorisation
7. Applications et exercices

📖 1. Réduire des expressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression algébrique : Une succession d’opérations dans laquelle figurent des nombres écrits avec des chiffres et des nombres appelés variables, représentés par des lettres.

★ À maîtriser

📌 Pour réduire une expression, il faut regrouper les termes de même famille afin de la simplifier au maximum.

Compléments

• Les produits de monômes se réduisent en multipliant les coefficients et en regroupant les puissances de mêmes lettres, par exemple $(-3x)\times(-4x)=12x^2$.

📖 2. Calculer une expression

★ À maîtriser

• Pour calculer une expression pour une valeur donnée, on remplace la variable par cette valeur, puis on effectue les opérations en respectant les priorités de calcul.

Compléments

• Pour $A=8x-1$ et $x=-5$, on obtient $A=-41$.

💡 Astuce mémo

Remplacer, calculer, vérifier

📖 3. Développer et factoriser

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Transformer un produit en somme.
• Factorisation : Transformer une somme en produit en mettant en facteurs, c’est-à-dire en identifiant les nombres que l’on multiplie.

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité simple s’écrit $k\times(a+b)=k\times a+k\times b$ pour tous réels $k$, $a$ et $b$.

📐 Formule — La factorisation simple s’écrit $k\times a+k\times b=k\times(a+b)$, où $k$ est le facteur commun.

Compléments

• L’expression $x(3x-5)$ se développe en $3x^2-5x$.

• La somme $6x^2+5x$ se factorise en $x(6x+5)$, car $x$ est le facteur commun.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit

📖 4. Supprimer les parenthèses

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’une parenthèse est précédée d’un signe +, on distribue le facteur $+1$ et les signes des termes restent inchangés.

📌 Lorsqu’une parenthèse est précédée d’un signe −, on distribue le facteur $-1$ et les signes des termes changent.

Compléments

• L’expression $2x+5+(3x-7)$ se réduit en $5x-2$.

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

💡 Astuce mémo

Signe + : les signes restent ; signe − : les signes changent

📖 5. Distributivité double

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité double s’écrit $(a+b)(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$ pour tous réels $a$, $b$, $c$ et $d$.

• Pour développer deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on additionne et on réduit les termes semblables.

Compléments

• L’expression $(4x-2)(x-3)$ se développe et se réduit en $4x^2-14x+6$.

💡 Astuce mémo

Premier avec premier, premier avec second, second avec premier, second avec second

📖 6. Méthodes de factorisation

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec un facteur commun, on repère le facteur commun, on l’isole, on recopie les termes restants dans l’ordre entre parenthèses, puis on réduit les termes entre parenthèses si nécessaire.

Compléments

• L’expression $3a-6b$ se factorise en $3(a-2b)$.

• L’expression $A=(x+2)(7+2x)+(x-2)(7+2x)$ se factorise en $(7+2x)((x+2)+(x-2))$, puis en $2x(7+2x)$.

💡 Astuce mémo

Repérer, isoler, recopier, réduire

📖 7. Applications et exercices

★ À maîtriser

📌 Une forme développée est une somme de termes, tandis qu’une forme factorisée est un produit de facteurs.

Compléments

• Dans l’exercice d’association, $-20x^2+28x$ correspond à $-4x(5x-7)$.

• Pour déterminer une aire hachurée en fonction de $x$, on exprime l’aire de chaque région à partir des longueurs indiquées $x$, $x-3$, $x-2$ et $x+2$, puis on développe, réduit ou factorise l’expression obtenue selon la forme demandée.

📊 Tableaux de synthèse

Développement et factorisation