QCM : Calcul littéral et racines carrées (10 questions)

Question 1

1. On veut établir que le produit $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})$ est un entier. Quelle vérification permet de conclure ?

Additionner les deux facteurs et vérifier que cette somme vaut 5

Développer le produit et conserver les termes croisés en racine

Vérifier que les deux facteurs ont des termes en racine de même signe

Développer le produit et constater que les termes en racine s’annulent, donnant 5

Explication

En développant, on obtient $7-\sqrt{14}+\sqrt{14}-2=5$ , qui est un entier ; c’est le développement puis la vérification du résultat qui justifient la conclusion. La présence de racines dans les facteurs ne suffit pas, conserver les termes croisés néglige leur annulation, et additionner les facteurs ne vérifie pas le produit.

Answer

Développer le produit et constater que les termes en racine s’annulent, donnant 5

Question 2

2. Pour réduire $\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}$ , quelle démarche permet d’obtenir le résultat correct ?

Simplifier les racines, puis regrouper les termes en

\sqrt{5}

Simplifier les racines, puis additionner tous les coefficients

Additionner les radicandes sous une seule racine carrée

Regrouper les radicandes, puis extraire un facteur carré

Explication

Il faut d’abord écrire $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ et $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ , puis regrouper les termes de même radical : le résultat est $4\sqrt{5}$ . Regrouper les radicandes ou les placer sous une racine unique ne respecte pas les règles de réduction.

Answer

Simplifier les racines, puis regrouper les termes en $$\sqrt{5}$$

Question 3

3. En regroupant les termes de $9\sqrt{7}-4\sqrt{7}+2\sqrt{7}$ , quel résultat obtient-on ?

3\sqrt{7}

7\sqrt{7}

7\sqrt{21}

15\sqrt{7}

Explication

Les termes ayant le même radical se regroupent en additionnant leurs coefficients : $9-4+2=7$ . $15\sqrt{7}$ néglige le signe moins, $3\sqrt{7}$ combine les coefficients incorrectement et $7\sqrt{21}$ multiplie les radicandes.

Answer

$$7\sqrt{7}$$

Question 4

4. Une élève simplifie $\sqrt{72}$ en extrayant le facteur carré parfait le plus grand. Quelle écriture obtient-elle sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal ?

3\sqrt{8}

2\sqrt{18}

6\sqrt{2}

8\sqrt{1}

Explication

Comme $72=36\times2$ , on a $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ . Les formes $3\sqrt{8}$ et $2\sqrt{18}$ ne sont pas entièrement simplifiées, et 72 n’est pas un carré parfait.

Answer

$$6\sqrt{2}$$

Question 5

5. Pour calculer exactement le produit $\sqrt{12}\times\sqrt{27}$ sans calculatrice, quelle méthode permet d’obtenir directement un résultat simplifié ?

Additionner les radicandes, puis prendre la racine du total

Simplifier les deux racines, puis multiplier les facteurs obtenus

Simplifier une racine et laisser l’autre sous sa forme initiale

Remplacer chaque racine par une approximation décimale

Explication

La méthode consiste à simplifier les racines et les facteurs avant de terminer le calcul ; ici, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ et $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ , donc le produit vaut 18. Additionner les radicandes confond produit et somme, les approximations ne donnent pas un résultat exact, et laisser une racine non simplifiée ne suit pas la démarche complète.

Answer

Simplifier les deux racines, puis multiplier les facteurs obtenus

Question 6

6. Le triangle KLM est rectangle en L, avec $KL=6\text{ cm}$ et $LM=9\text{ cm}$ . Quelle expression donne son aire ?

\frac{6\times9}{2}=27\text{ cm}^2

6\times9=54\text{ cm}^2

\frac{9\times\sqrt{117}}{2}\text{ cm}^2

\frac{6+9}{2}=7{,}5\text{ cm}^2

Explication

L’aire d’un triangle rectangle se calcule avec les deux côtés perpendiculaires en L : $\frac{KL\times LM}{2}=\frac{6\times9}{2}=27\text{ cm}^2$ . L’expression avec $\sqrt{117}$ substitue l’hypoténuse à une hauteur, 7,5 additionne les côtés, et 54 oublie de diviser par deux.

Answer

$$\frac{6\times9}{2}=27\text{ cm}^2$$

Question 7

7. Sans calculatrice, quelle est la valeur exacte de $2\sqrt{20}\times\sqrt{500}$ après simplification des facteurs et calcul du produit ?

20

100

400

200

Explication

On simplifie d’abord : $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ et $\sqrt{500}=10\sqrt{5}$ . Ainsi, $2\times2\sqrt{5}\times10\sqrt{5}=40\times5=200$ ; 100 oublie un facteur 2, 400 double le résultat et 20 omet une partie des facteurs.

Answer

$$\sqrt{74}\text{ cm}$$

Answer

$$6\sqrt{3}$$

Question 8

8. En développant $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ , quel résultat obtient-on après distributivité et réduction ?

2\sqrt{6}

-1

1

5

Explication

La distributivité donne $3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2=1$ : les termes croisés se réduisent et les termes en $\sqrt{6}$ s’annulent. 5 additionne les carrés, -1 inverse leur différence, et $2\sqrt{6}$ provient de la conservation erronée des termes croisés.

Question 9

9. Dans un triangle rectangle en L, les côtés perpendiculaires mesurent $5\text{ cm}$ et $7\text{ cm}$ . Quelle est la longueur exacte de l’hypoténuse KM ?

74\text{ cm}

12\text{ cm}

\sqrt{24}\text{ cm}

\sqrt{74}\text{ cm}

Explication

Le théorème de Pythagore donne $KM^2=5^2+7^2=74$ , donc $KM=\sqrt{74}\text{ cm}$ . La valeur 12 vient de l’addition des longueurs, $\sqrt{24}$ d’une soustraction des carrés, et 74 omet la racine carrée.

Question 10

10. Pour écrire $\sqrt{108}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quel résultat obtient-on en extrayant un facteur carré parfait ?

2\sqrt{27}

6\sqrt{3}

3\sqrt{12}

9\sqrt{2}

Explication

On décompose $108=36\times3$ , donc $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ , avec le radicande minimal. Les réponses $3\sqrt{12}$ et $2\sqrt{27}$ laissent un facteur carré à extraire, tandis que $9\sqrt{2}$ ne correspond pas à cette décomposition.

QCM : Calcul littéral et racines carrées (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On veut établir que le produit $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})$ est un entier. Quelle vérification permet de conclure ?

2. Pour réduire $\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}$ , quelle démarche permet d’obtenir le résultat correct ?

3. En regroupant les termes de $9\sqrt{7}-4\sqrt{7}+2\sqrt{7}$ , quel résultat obtient-on ?

4. Une élève simplifie $\sqrt{72}$ en extrayant le facteur carré parfait le plus grand. Quelle écriture obtient-elle sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal ?

5. Pour calculer exactement le produit $\sqrt{12}\times\sqrt{27}$ sans calculatrice, quelle méthode permet d’obtenir directement un résultat simplifié ?

6. Le triangle KLM est rectangle en L, avec $KL=6\text{ cm}$ et $LM=9\text{ cm}$ . Quelle expression donne son aire ?

7. Sans calculatrice, quelle est la valeur exacte de $2\sqrt{20}\times\sqrt{500}$ après simplification des facteurs et calcul du produit ?

8. En développant $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ , quel résultat obtient-on après distributivité et réduction ?

9. Dans un triangle rectangle en L, les côtés perpendiculaires mesurent $5\text{ cm}$ et $7\text{ cm}$ . Quelle est la longueur exacte de l’hypoténuse KM ?

10. Pour écrire $\sqrt{108}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quel résultat obtient-on en extrayant un facteur carré parfait ?

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QCM : Calcul littéral et racines carrées (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On veut établir que le produit (7+2)(7−2) (\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) (7​+2​)(7​−2​) est un entier. Quelle vérification permet de conclure ?

2. Pour réduire 20+45−5\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}20​+45​−5​, quelle démarche permet d’obtenir le résultat correct ?

3. En regroupant les termes de 97−47+279\sqrt{7}-4\sqrt{7}+2\sqrt{7}97​−47​+27​, quel résultat obtient-on ?

4. Une élève simplifie 72\sqrt{72}72​ en extrayant le facteur carré parfait le plus grand. Quelle écriture obtient-elle sous la forme aba\sqrt{b}ab​ avec bbb minimal ?

5. Pour calculer exactement le produit 12×27\sqrt{12}\times\sqrt{27}12​×27​ sans calculatrice, quelle méthode permet d’obtenir directement un résultat simplifié ?

6. Le triangle KLM est rectangle en L, avec KL=6 cmKL=6\text{ cm}KL=6 cm et LM=9 cmLM=9\text{ cm}LM=9 cm. Quelle expression donne son aire ?

7. Sans calculatrice, quelle est la valeur exacte de 220×5002\sqrt{20}\times\sqrt{500}220​×500​ après simplification des facteurs et calcul du produit ?

8. En développant (3+2)(3−2) (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) (3​+2​)(3​−2​), quel résultat obtient-on après distributivité et réduction ?

9. Dans un triangle rectangle en L, les côtés perpendiculaires mesurent 5 cm5\text{ cm}5 cm et 7 cm7\text{ cm}7 cm. Quelle est la longueur exacte de l’hypoténuse KM ?

10. Pour écrire 108\sqrt{108}108​ sous la forme aba\sqrt{b}ab​ avec bbb minimal, quel résultat obtient-on en extrayant un facteur carré parfait ?

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2. Pour réduire $\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}$ , quelle démarche permet d’obtenir le résultat correct ?

3. En regroupant les termes de $9\sqrt{7}-4\sqrt{7}+2\sqrt{7}$ , quel résultat obtient-on ?

4. Une élève simplifie $\sqrt{72}$ en extrayant le facteur carré parfait le plus grand. Quelle écriture obtient-elle sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal ?

5. Pour calculer exactement le produit $\sqrt{12}\times\sqrt{27}$ sans calculatrice, quelle méthode permet d’obtenir directement un résultat simplifié ?

6. Le triangle KLM est rectangle en L, avec $KL=6\text{ cm}$ et $LM=9\text{ cm}$ . Quelle expression donne son aire ?

7. Sans calculatrice, quelle est la valeur exacte de $2\sqrt{20}\times\sqrt{500}$ après simplification des facteurs et calcul du produit ?

8. En développant $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ , quel résultat obtient-on après distributivité et réduction ?

9. Dans un triangle rectangle en L, les côtés perpendiculaires mesurent $5\text{ cm}$ et $7\text{ cm}$ . Quelle est la longueur exacte de l’hypoténuse KM ?

10. Pour écrire $\sqrt{108}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quel résultat obtient-on en extrayant un facteur carré parfait ?