Fiche de révision : Calcul matriciel et déterminants

📋 Plan du Cours

1. Matrices et formes particulières
2. Opérations sur les matrices
3. Inversibilité et matrices élémentaires
4. Déterminants d’ordres deux et trois
5. Propriétés des déterminants
6. Inverse et résolution par déterminants

📖 1. Matrices et formes particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire de coefficients appartenant à K, avec K = R ou C, et une matrice de type (m, n) possède m lignes et n colonnes.
• Matrice unité : Matrice carrée dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres 0, et elle vérifie AI = IA = A pour toute matrice carrée A du même ordre.
• Matrice diagonale : Matrice carrée dont les coefficients hors diagonale sont nuls.
• Matrice triangulaire : Une matrice triangulaire supérieure vérifie aᵢⱼ = 0 pour i > j, tandis qu’une matrice triangulaire inférieure vérifie aᵢⱼ = 0 pour i < j.
• Transposée : La transposée d’une matrice s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes ; si A = (aᵢⱼ), alors ᵗA = (aⱼᵢ) et ᵗ(ᵗA) = A.

★ À maîtriser

• Une matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes, et son nombre de lignes est son ordre.

Compléments

📌 Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et des coefficients correspondants égaux.

💡 Astuce mémo

Diagonale : seuls les termes diagonaux subsistent ; triangulaire : une moitié de la matrice est nulle.

📖 2. Opérations sur les matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de matrices : La somme de deux matrices de même type (m, n) est la matrice de type (m, n) dont chaque coefficient est la somme des coefficients correspondants.
• Multiplication scalaire : Pour λ ∈ K et A = (aᵢⱼ), la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de A par λ.
• Produit matriciel : Pour A de type (m, n) et B de type (r, p), AB est défini seulement si n = r ; il est alors de type (m, p) et son coefficient (i, l) vaut la somme des produits aᵢⱼbⱼₗ pour j de 1 à n.

★ À maîtriser

📌 Le produit matriciel n’est généralement pas commutatif et AB = 0 n’implique pas nécessairement A = 0 ou B = 0.

Compléments

• L’addition matricielle est commutative et associative, la matrice nulle est son élément neutre et chaque matrice A admet l’opposé −A tel que A + (−A) = 0.

• La multiplication par un scalaire est distributive sur l’addition des matrices et des scalaires, associative pour les scalaires et vérifie 1A = A.

• Le produit matriciel est associatif et distributif à gauche et à droite sur l’addition, et vérifie λ(AB) = (λA)B.

• Les puissances d’une matrice sont notées A² = AA et A³ = A²A.

💡 Astuce mémo

Addition terme à terme, produit par lignes et colonnes.

📖 3. Inversibilité et matrices élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée B du même ordre telle que AB = BA = Iₙ ; cette matrice unique B est notée A⁻¹.
• Opération élémentaire : Une opération élémentaire sur une matrice consiste à ajouter à une ligne ou colonne une autre ligne ou colonne multipliée par un scalaire, multiplier une ligne ou colonne par un scalaire non nul, ou permuter deux lignes ou colonnes.
• Matrice élémentaire : La matrice élémentaire correspondant à une opération élémentaire e sur les lignes est la matrice obtenue en appliquant e à la matrice unité.

★ À maîtriser

• Si A et B sont inversibles, AB est inversible et (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ; si A est inversible, (A⁻¹)⁻¹ = A.

• Pour calculer un inverse par la méthode de Gauss, on place I à droite de A, on effectue les mêmes opérations sur les deux blocs jusqu’à obtenir I à gauche, puis le bloc droit est A⁻¹.

Compléments

• La matrice unité est inversible et son inverse est elle-même.

💡 Astuce mémo

Opérer sur I donne E ; opérer sur (A|I) réduit A vers I et révèle A⁻¹.

📖 4. Déterminants d’ordres deux et trois

🔑 Notions clés & Définitions

• Mineur : Déterminant d’ordre 2 obtenu en supprimant la ligne et la colonne de cet élément.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une matrice d’ordre 2, $\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$.

• Pour calculer un déterminant d’ordre 3, on le développe en somme des éléments d’une ligne ou colonne multipliés par leurs cofacteurs, chaque cofacteur étant le mineur signé de l’élément.

📖 5. Propriétés des déterminants

★ À maîtriser

• Le cofacteur de l’élément situé en ligne i et colonne j vaut $(-1)^{i+j}$ multiplié par son mineur.

• Permuter deux lignes ou deux colonnes multiplie la valeur du déterminant par −1, tandis que transposer la matrice conserve sa valeur.

• Un déterminant est nul si deux lignes ou deux colonnes sont proportionnelles, et il est conservé lorsqu’on ajoute à une ligne ou colonne une combinaison des autres.

📌 En général, det(A + B) ≠ det A + det B, tandis que det(AB) = det A × det B.

Compléments

• Multiplier tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par k multiplie le déterminant par k ; une ligne ou colonne nulle donne un déterminant nul.

• Le déterminant est linéaire par rapport à une ligne ou une colonne lorsque ses éléments sont décomposés en une somme de deux termes.

• Pour calculer un déterminant, on conseille de développer selon la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros.

💡 Astuce mémo

Ligne nulle ou proportionnelle → déterminant nul.

📖 6. Inverse et résolution par déterminants

★ À maîtriser

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A ≠ 0.

📐 Formule - Si det A ≠ 0, alors $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{com}(A)$, où com(A) est la matrice des cofacteurs de A.

📌 Pour un système AX = b avec A carrée et det A ≠ 0, la méthode de Cramer donne xᵢ = det(Bᵢ)/det(A), où Bᵢ est obtenue en remplaçant la iᵉ colonne de A par b.

Compléments

• Pour toute matrice inversible A, det(A⁻¹) = (det A)⁻¹.

• La méthode de Gauss pour les systèmes et celle des matrices élémentaires pour calculer un inverse demeurent les plus efficaces selon le cours.

💡 Astuce mémo

Inverse : comatrice entière ; Cramer : remplacement d’une colonne.