Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Positions relatives dans l’espace
2. Vecteurs et opérations
3. Colinéarité des vecteurs
4. Coplanarité et indépendance
5. Caractérisation des droites et plans
6. Bases et repères de l’espace
7. Calculs de coordonnées
8. Représentations paramétriques
9. Produit scalaire
10. Produit vectoriel
11. Applications des produits vectoriels

📖 1. Positions relatives dans l’espace

📝 Points essentiels

• Deux droites coplanaires sont sécantes si leur intersection contient un point, strictement parallèles si elle est vide, et confondues si leur intersection est la droite entière.

• Deux plans sont sécants si leur intersection est une droite, strictement parallèles si leur intersection est vide, et confondus si leur intersection est le plan entier.

• Une droite et un plan sont sécants si leur intersection est un point, parallèles si leur intersection est vide, et la droite est incluse dans le plan si leur intersection est la droite entière.

💡 Astuce mémo

Intersection vide : parallèles ou non coplanaires pour deux droites

📖 2. Vecteurs et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : A la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et pour norme la distance AB.

★ À maîtriser

• La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Compléments

• Si A et B sont confondus, le vecteur AB est le vecteur nul, de norme 0 et sans direction ni sens.

📌 Pour tout réel k et tout vecteur u, $ku=0$ si et seulement si k=0 ou u=0 ; si k et u sont non nuls, ku garde la direction de u, a son sens si k>0, le sens contraire si k<0, et sa norme vaut $|k|\|u\|$.

📖 3. Colinéarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que $v=ku$.

★ À maîtriser

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Compléments

• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

📌 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Colinéarité → même direction

📖 4. Coplanarité et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si, pour tout point O et les points A, B et C tels que $u=OA$, $v=OB$ et $w=OC$, les points O, A, B et C appartiennent à un même plan.
• Combinaison linéaire : Un vecteur w est une combinaison linéaire de u et v s’il existe deux réels α et β tels que $w=\alpha u+\beta v$.

★ À maîtriser

📌 Si u et v ne sont pas colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels a et b tels que $w=au+bv$.

📌 Trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité $au+bv+cw=0$ entraîne $a=b=c=0$ ; cela équivaut à dire qu’ils ne sont pas coplanaires.

Compléments

• Si deux des vecteurs u, v et w sont colinéaires, alors les trois vecteurs sont coplanaires.

💡 Astuce mémo

Coplanaires : dépendance ; non coplanaires : indépendance

📖 5. Caractérisation des droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.

★ À maîtriser

📌 Si A et B sont distincts, un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs AM et AB sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel k tel que $AM=kAB$.

📌 Si A, B et C ne sont pas alignés, un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si AM, AB et AC sont coplanaires, soit $AM=xAB+yAC$ pour certains réels x et y.

Compléments

• Un plan peut être défini par :
  • trois points distincts non alignés
  • une droite et un point extérieur à celle-ci
  • deux droites sécantes
  • deux droites strictement parallèles

📖 6. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Formée de trois vecteurs non coplanaires.
• Repère de l’espace : Un quadruplet formé d’un point O, origine du repère, et d’une base (i, j, k), noté (O; i, j, k).

📝 Points essentiels

📌 Dans une base de l’espace (i, j, k), tout vecteur u admet une unique écriture $u=xi+yj+zk$ avec x, y et z réels.

📖 7. Calculs de coordonnées

📝 Points essentiels

• Dans un repère (O; i, j, k), si $u=xi+yj+zk$, les coordonnées de u sont (x; y; z), où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote ; le point M tel que $u=OM$ possède les mêmes coordonnées.

• Pour des vecteurs de coordonnées (x; y; z) et (x′; y′; z′), leur somme a pour coordonnées $(x+x′;y+y′;z+z′)$ et le produit du premier par α a pour coordonnées $(αx;αy;αz)$.

📐 Formule - Si A et B ont pour coordonnées (x_A; y_A; z_A) et (x_B; y_B; z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ et le milieu I de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées (x; y; z), alors $\|u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et, pour A et B, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

📖 8. Représentations paramétriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Une droite passant par A(x_A; y_A; z_A) et dirigée par u(a; b; c) admet la représentation paramétrique $x=x_A+at,\quad y=y_A+bt,\quad z=z_A+ct,\quad t\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Un plan passant par A(x_A; y_A; z_A) et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u(a; b; c) et v(α; β; γ) admet la représentation paramétrique $x=x_A+at+αt′,\quad y=y_A+bt+βt′,\quad z=z_A+ct+γt′,\quad t,t′\in\mathbb{R}$.

Compléments

• Dans une représentation paramétrique de droite $x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct$, la droite passe par (x_0; y_0; z_0) et le vecteur (a; b; c) en est un vecteur directeur.

💡 Astuce mémo

Droite : un paramètre ; plan : deux paramètres

📖 9. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le réel $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos(\overline{u,v})$, où l’angle peut être aigu ou obtus et n’est pas nécessairement orienté.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une base orthonormée, si u=(u_x; u_y; u_z) et v=(v_x; v_y; v_z), alors $u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$ et $\|u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$.

📌 Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si $u\cdot v=0$.

Compléments

📐 Formule - La norme d’un vecteur vérifie $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$ ; un vecteur est unitaire lorsque sa norme vaut 1.

• Le produit scalaire est symétrique, bilinéaire et défini positif : $u\cdot v=v\cdot u$, $u\cdot(v+w)=u\cdot v+u\cdot w$, $u\cdot(\lambda v)=\lambda(u\cdot v)$ et $u\cdot u=\|u\|^2\geq0$.

📌 Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si $|u\cdot v|=\|u\|\|v\|$ ; ils sont de même sens si et seulement si leur produit scalaire est positif.

📖 10. Produit vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Dans l’espace orienté, si u et v sont colinéaires ou si l’un est nul, alors $u\wedge v=0$ ; sinon, u∧v est orthogonal à u et v, orienté de sorte que (u, v, u∧v) soit une base directe, et sa norme vaut $\|u\wedge v\|=\|u\|\|v\||\sin(\widehat{u,v})|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une base orthonormée directe, si u=(u_x;u_y;u_z) et v=(v_x;v_y;v_z), alors $u\wedge v=(u_yv_z-u_zv_y;\ u_zv_x-u_xv_z;\ u_xv_y-u_yv_x)$.

Compléments

• Le produit vectoriel n’existe que dans l’espace de dimension 3.

• Le produit vectoriel est antisymétrique et bilinéaire : $u\wedge v=-v\wedge u$, $(u+w)\wedge v=u\wedge v+w\wedge v$ et $u\wedge(v+w)=u\wedge v+u\wedge w$.

📐 Formule - Si u et v appartiennent au plan de base (e_x, e_y), avec coordonnées (u_x;u_y;0) et (v_x;v_y;0), alors $u\wedge v=(u_xv_y-u_yv_x)e_z$.

💡 Astuce mémo

Un vecteur perpendiculaire aux deux autres, orienté par la main droite

📖 11. Applications des produits vectoriels

★ À maîtriser

• L’aire du parallélogramme construit sur u et v est $\|u\wedge v\|=\|u\|\|v\||\sin\theta|$ ; dans le plan orienté, $\|u\|\|v\|\sin\theta$ donne son aire algébrique.

• Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si $u\wedge v=0$.

• Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si $u\cdot(v\wedge w)=0$, $v\cdot(w\wedge u)=0$ et $w\cdot(u\wedge v)=0$ ; ces trois produits mixtes coïncident.

Compléments

📌 Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si $\|u\wedge v\|=\|u\|\|v\|$.

• Le vecteur $u\wedge v$ est orthogonal à u et v, et constitue donc un vecteur normal à un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v.