Fiche de révision : Géométrie repérée et cercles

📋 Plan du Cours

1. Repères et coordonnées du plan
2. Distance et milieu d’un segment
3. Équations et tracé des droites
4. Pente et alignement des points
5. Parallélisme et intersection des droites
6. Équations des cercles
7. Tangentes et cercles inscrits

📖 1. Repères et coordonnées du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Triplet de points non alignés $(O,I,J)$ qui définit deux axes orientés et gradués et permet de repérer chaque point par ses coordonnées.
• Repère orthonormé : Un repère est orthonormé lorsque ses axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et que $OI=OJ$.

• Abscisse : Sa première coordonnée et s’obtient par projection sur l’axe $(O,I)$ parallèlement à $(O,J).
• Ordonnée : Sa seconde coordonnée et s’obtient par projection sur l’axe $(O,J)$ parallèlement à $(O,I).

💡 Astuce mémo

L’abscisse se lit sur l’axe horizontal ; l’ordonnée, sur l’axe vertical.

📖 2. Distance et milieu d’un segment

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📐 Formule - Dans un repère, le milieu $C$ de $[AB]$, avec $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, a pour coordonnées $C\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📖 3. Équations et tracé des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction de la forme $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.

★ À maîtriser

• La représentation graphique de la fonction affine $f(x)=mx+p$ est la droite d’équation $y=mx+p$.

📌 Un point $M(x_M,y_M)$ appartient à la droite d’équation $y=mx+p$ si et seulement si ses coordonnées vérifient $y_M=mx_M+p$.

📌 Une droite a une équation de la forme $y=mx+p$ ou de la forme $x=c$ ; les droites d’équation $x=c$ sont parallèles à l’axe des ordonnées.

Compléments

• Pour tracer une droite d’équation $y=mx+p$, on choisit deux valeurs de $x$, on calcule les valeurs correspondantes de $y$, puis on trace la droite passant par les deux points obtenus.

📖 4. Pente et alignement des points

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points distincts $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ d’une droite de pente $m$, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

• Pour montrer que trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, on détermine une équation de $(AB)$ et on vérifie que $C$ appartient à cette droite ; pour montrer qu’ils ne sont pas alignés, on vérifie que $C$ n’y appartient pas.

Compléments

• Pour tracer directement une droite à partir de son ordonnée à l’origine et de son coefficient directeur, on place d’abord le point d’ordonnée $p$ sur l’axe des ordonnées, puis on utilise le coefficient directeur comme rapport entre la différence des ordonnées et celle des abscisses pour placer un second point.

📖 5. Parallélisme et intersection des droites

★ À maîtriser

📌 Deux droites d’équations $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux, c’est-à-dire si $m=m'$.

📌 Deux droites d’équations $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont sécantes si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents, c’est-à-dire si $m\ne m'$.

Compléments

• Le point d’intersection de deux droites sécantes se détermine en résolvant le système formé par leurs équations.

📌 Deux droites de coefficients directeurs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si $mm'=-1$.

💡 Astuce mémo

Même pente : parallèles ; pentes différentes : sécantes.

📖 6. Équations des cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle : L’ensemble des points $M$ du plan tels que $AM=R$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(x_A,y_A)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2$.

• En développant une équation de cercle, on obtient une relation de la forme $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$, mais une équation de cette forme n’est pas toujours celle d’un cercle.

Compléments

📌 Toute équation de la forme $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2$ caractérise le cercle de centre $A(x_A,y_A)$ et de rayon $R$.

• Pour déterminer l’équation d’un cercle de diamètre $[AB]$, on peut calculer le milieu de $[AB]$ comme centre et la moitié de $AB$ comme rayon.

💡 Astuce mémo

Un cercle est l’ensemble des points à distance constante de son centre.

📖 7. Tangentes et cercles inscrits

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercles tangents : Deux cercles ayant un seul point d’intersection $A$.
• Tangente à un cercle : La droite perpendiculaire au rayon $(OA)$ passant par $A$.

★ À maîtriser

📌 Si deux cercles sont tangents en $A$, ils ont une tangente commune en $A$ et leurs centres ainsi que $A$ sont alignés.

Compléments

• Deux cercles peuvent avoir les positions relatives suivantes : deux points d’intersection, un point d’intersection, aucun point d’intersection

• Pour construire une tangente issue d’un point extérieur $A$ à un cercle de centre $O$, on construit le milieu $I$ de $[AO]$, puis le cercle de centre $I$ et de rayon $IO$ ; ses intersections avec le cercle donné sont les points de tangence.

• Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit, auquel les côtés du triangle sont tangents.

💡 Astuce mémo

Le rayon rejoint le point de tangence perpendiculairement à la tangente.