QCM : Géométrie repérée et cercles (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel rôle joue un repère du plan défini par trois points non alignés (O,I,J)(O,I,J) ?

Il détermine une droite graduée permettant de repérer une seule coordonnée.
Il définit deux axes perpendiculaires de même longueur pour mesurer les angles.
Il définit deux axes orientés et gradués pour repérer les points par leurs coordonnées.
Il associe à chaque point une distance unique mesurée depuis l’origine.

Il définit deux axes orientés et gradués pour repérer les points par leurs coordonnées.

Explication

Les trois points non alignés définissent deux axes orientés et gradués, grâce auxquels chaque point peut être repéré par ses coordonnées. La perpendicularité et l’égalité des unités caractérisent plus précisément un repère orthonormé.

2. À quelle condition un repère est-il orthonormé ?

Ses axes sont perpendiculaires et les longueurs OIOI et OJOJ sont égales.
Ses axes sont parallèles et les longueurs OIOI et OJOJ sont égales.
Ses axes sont confondus et les longueurs OIOI et OJOJ sont égales.
Ses axes sont perpendiculaires et les longueurs OIOI et OJOJ sont différentes.

Ses axes sont perpendiculaires et les longueurs $$OI$$ et $$OJ$$ sont égales.

Explication

Un repère orthonormé possède des axes perpendiculaires et des unités de même longueur sur les deux axes. Des axes perpendiculaires avec des unités différentes ne suffisent donc pas.

3. Dans un repère orthonormé, quelle expression donne la distance entre A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) ?

(xB+xA)2+(yB+yA)2\sqrt{(x_B+x_A)^2+(y_B+y_A)^2}
(xB−xA)2+(yB−yA)2(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
(xB−xA)+(yB−yA)2\frac{(x_B-x_A)+(y_B-y_A)}{2}
(xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

$$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Explication

La distance se calcule en prenant la racine carrée de la somme des carrés des écarts entre les abscisses et entre les ordonnées. L’expression sans racine correspond au carré de cette distance, et non à la distance elle-même.

4. Quelles sont les coordonnées du milieu CC du segment [AB][AB] si A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) ?

C(xB−xA2,yB−yA2)C\left(\frac{x_B-x_A}{2},\frac{y_B-y_A}{2}\right)
C(xA+xB,yA+yB)C\left(x_A+x_B,y_A+y_B\right)
C(xA+xB2,yA+yB2)C\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)
C(xA+yA2,xB+yB2)C\left(\frac{x_A+y_A}{2},\frac{x_B+y_B}{2}\right)

$$C\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Explication

Le milieu a pour abscisse la moyenne des abscisses des extrémités et pour ordonnée la moyenne de leurs ordonnées. Les différences entre coordonnées servent notamment au calcul de la distance, pas à déterminer le milieu.

5. Quelle forme caractérise une fonction affine, où mm et pp sont des nombres réels ?

f(x)=mx+pf(x)=\frac{m}{x}+p
f(x)=m+pxf(x)=m+p^x
f(x)=mx2+pf(x)=mx^2+p
f(x)=mx+pf(x)=mx+p

$$f(x)=mx+p$$

Explication

Une fonction affine s’écrit comme une expression du premier degré en xx, de la forme mx+pmx+p. L’expression contenant x2x^2 est quadratique plutôt qu’affine.

6. Quelle est la représentation graphique de la fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+p ?

La droite d’équation y=mx+py=mx+p
La droite d’équation y=px+my=px+m
La parabole d’équation y=mx+py=mx+p
La droite d’équation x=my+px=my+p

La droite d’équation $$y=mx+p$$

Explication

La représentation graphique d’une fonction affine est la droite dont l’équation reprend la relation y=mx+py=mx+p. Une équation quadratique en xx donnerait une parabole, et non cette droite.

7. Comment vérifier si un point M(xM,yM)M(x_M,y_M) appartient à la droite y=mx+py=mx+p ?

Vérifier que xM+yM=m+px_M+y_M=m+p.
Vérifier que yM=mxM−py_M=mx_M-p.
Vérifier que xM=myM+px_M=my_M+p.
Vérifier que yM=mxM+py_M=mx_M+p.

Vérifier que $$y_M=mx_M+p$$.

Explication

Le point appartient à la droite si ses coordonnées satisfont son équation, ce qui revient à vérifier yM=mxM+py_M=mx_M+p. Intervertir les coordonnées change le test et ne permet pas de vérifier cette équation.

8. Une droite a pour équation x=4x=4 : quelle caractéristique possède-t-elle ?

Elle a une équation de la forme y=mx+py=mx+p.
Elle est parallèle à l’axe des ordonnées.
Elle est parallèle à l’axe des abscisses.
Elle passe par l’origine du repère.

Elle est parallèle à l’axe des ordonnées.

Explication

Une équation de la forme x=cx=c décrit une droite parallèle à l’axe des ordonnées. Une droite parallèle à l’axe des abscisses est plutôt décrite par une valeur constante de yy.

9. Pour deux points distincts A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) d’une droite, quelle expression donne le coefficient directeur de cette droite ?

xB−xAyB−yA\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}
yB−yAxB−xA\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
xB−yBxA−yA\frac{x_B-y_B}{x_A-y_A}
yA+yBxA+xB\frac{y_A+y_B}{x_A+x_B}

$$\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Explication

Le coefficient directeur est le rapport de la variation des ordonnées à celle des abscisses entre les deux points. Inverser ce rapport, comme dans un distracteur, ne donne pas la pente de la droite.

10. Pour vérifier que trois points distincts AA, BB et CC sont alignés, quelle démarche convient ?

Vérifier que les ordonnées de AA, BB et CC sont égales, sans comparer leurs abscisses.
Déterminer une équation de la droite (AB)(AB), puis vérifier que CC appartient à cette droite.
Déterminer une équation de la droite (AB)(AB), puis vérifier que CC n’appartient pas à cette droite.
Vérifier que les distances ABAB et BCBC sont égales, sans étudier la droite $$(AB)$.

Déterminer une équation de la droite $$(AB)$$, puis vérifier que $$C$$ appartient à cette droite.

Explication

Les trois points sont alignés lorsque CC appartient à la droite déterminée par AA et BB. La non-appartenance de CC à cette droite indique au contraire que les points ne sont pas alignés.

11. Deux droites ont pour équations y=3x+2y=3x+2 et y=3x−5y=3x-5 ; quelle relation caractérise leur position ?

Elles sont parallèles, car leurs coefficients directeurs sont égaux.
Elles sont sécantes, car leurs ordonnées à l’origine sont différentes.
Elles sont confondues, car leurs coefficients directeurs sont égaux.
Elles sont perpendiculaires, car leurs coefficients directeurs sont égaux.

Elles sont parallèles, car leurs coefficients directeurs sont égaux.

Explication

Les deux droites ont le même coefficient directeur, égal à 33, et des ordonnées à l’origine différentes : elles sont donc parallèles. Des ordonnées à l’origine différentes ne suffisent pas à rendre les droites sécantes lorsque leurs pentes sont égales.

12. Les coefficients directeurs de deux droites sont −2-2 et 44 ; que peut-on conclure de leur position ?

Elles sont parallèles, car leurs ordonnées à l’origine peuvent être égales.
Elles sont confondues, car leurs coefficients directeurs sont tous deux non nuls.
Elles sont sécantes, car leurs coefficients directeurs sont différents.
Elles sont perpendiculaires, car le produit de leurs coefficients directeurs est négatif.

Elles sont sécantes, car leurs coefficients directeurs sont différents.

Explication

Des coefficients directeurs différents impliquent que les deux droites sont sécantes. Un produit négatif ne suffit pas à établir la perpendicularité, qui exige un produit égal à −1-1.

13. Comment caractérise-t-on le cercle de centre AA et de rayon RR à l’aide des points MM du plan ?

C’est l’ensemble des points MM tels que AM=RAM=R.
C’est l’ensemble des points MM tels que MA=2RMA=2R.
C’est l’ensemble des points MM tels que AM2=RAM^2=R.
C’est l’ensemble des points MM tels que AM≤RAM\leq R.

C’est l’ensemble des points $$M$$ tels que $$AM=R$$.

Explication

Un cercle est l’ensemble des points situés à une distance du centre égale au rayon. La condition AM≤RAM\leq R décrit le disque délimité par le cercle plutôt que le cercle lui-même.

14. Dans un repère orthonormé, quelle équation représente le cercle de centre A(2,−1)A(2,-1) et de rayon 33 ?

(x+2)2+(y−1)2=3(x+2)^2+(y-1)^2=3
(x−2)2+(y+1)2=3(x-2)^2+(y+1)^2=3
(x−2)2+(y+1)2=9(x-2)^2+(y+1)^2=9
(x+2)2+(y−1)2=9(x+2)^2+(y-1)^2=9

$$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$

Explication

L’équation d’un cercle de centre (xA,yA)(x_A,y_A) et de rayon RR est (x−xA)2+(y−yA)2=R2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2 ; ici, le rayon au carré vaut 99. Changer les signes dans les parenthèses déplacerait le centre en (−2,1)( -2,1).

15. Après développement, une équation prend la forme x2+y2+2x−4y+10=0x^2+y^2+2x-4y+10=0 ; quelle conclusion est justifiée par cette seule forme ?

Cette forme ne garantit pas à elle seule que l’équation représente un cercle.
Cette forme garantit un cercle de centre (1,−2)(1,-2) et de rayon positif.
Cette forme garantit un cercle de centre (2,−4)(2,-4) et de rayon nul.
Cette forme garantit un cercle de centre (−1,2)(-1,2) et de rayon positif.

Cette forme ne garantit pas à elle seule que l’équation représente un cercle.

Explication

Une équation développée de la forme x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0 n’est pas toujours celle d’un cercle. Ici, compléter les carrés donne un rayon au carré égal à −5-5, ce qui ne définit pas de cercle réel.

16. Comment appelle-t-on deux cercles qui ont un seul point d’intersection, noté A ?

Des cercles tangents en A
Des cercles sécants en A
Des cercles disjoints en A
Des cercles concentriques en A

Des cercles tangents en A

Explication

Deux cercles ayant un unique point d’intersection sont dits tangents en ce point. Des cercles sécants ont plutôt deux points d’intersection.

17. Quelle droite est tangente à un cercle de centre O au point A du cercle ?

La droite passant par A et parallèle au rayon OA
La droite passant par O et A, prolongée au-delà de A
La droite passant par A et perpendiculaire au rayon OA
La droite passant par O et perpendiculaire au rayon OA

La droite passant par A et perpendiculaire au rayon OA

Explication

La tangente en A passe par ce point et est perpendiculaire au rayon OA. Le rayon, contrairement à la tangente, relie le centre O au point de contact A.

18. Deux cercles sont tangents en A et ont pour centres O et P. Quelle relation géométrique en découle ?

O, A et P forment un triangle rectangle et les cercles ont deux tangentes communes en A
O, A et P sont alignés et les cercles ont des tangentes distinctes en A
O et P sont confondus et la droite passant par A est parallèle aux rayons
O, A et P sont alignés et les cercles ont une tangente commune en A

O, A et P sont alignés et les cercles ont une tangente commune en A

Explication

Deux cercles tangents en A ont une tangente commune en ce point, et leurs deux centres ainsi qu'A sont alignés. La possibilité de tangentes distinctes en A contredit l’existence de cette tangente commune.

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Qu’est-ce qu’un repère du plan ?

Un triplet de points non alignés qui définit deux axes orientés et gradués.

Comment un repère du plan permet-il de repérer un point ?

Par ses coordonnées.

Quelle relation entre les axes caractérise un repère orthonormé ?

Les axes (OI)(OI) et (OJ)(OJ) sont perpendiculaires.

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