QCM : Géométrie vectorielle dans l’espace (31 questions)

Explication

Une intersection réduite à un point caractérise deux droites sécantes. Des droites strictement parallèles ont une intersection vide, tandis que des droites confondues partagent toute la droite.

Explication

Deux plans distincts dont l’intersection est vide sont strictement parallèles. Des plans confondus ont pour intersection le plan entier, et des plans sécants se rencontrent selon une droite.

Explication

Une intersection constituée d’un seul point signifie que la droite est sécante au plan. Si la droite était incluse dans le plan, leur intersection serait toute la droite.

Explication

La norme de $\overrightarrow{AB}$ est la distance AB, c’est-à-dire la longueur du vecteur. La direction et le sens décrivent son orientation, et non sa norme.

Explication

La relation de Chasles donne le déplacement direct de A à C en additionnant les déplacements de A à B puis de B à C. Remplacer la somme par une différence ne décrit pas cette composition de déplacements.

Explication

Deux vecteurs sont égaux exactement lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Des vecteurs opposés ont des sens contraires, même s’ils peuvent partager direction et norme.

Explication

La colinéarité de deux vecteurs non nuls signifie que l’un est un multiple réel de l’autre. Avoir la même norme et le même sens caractérise des vecteurs égaux, mais n’est pas requis pour la colinéarité.

Explication

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Leur égalité est une condition plus forte et n’est pas nécessaire pour l’alignement.

Explication

La coplanarité signifie que, pour tout point $O$, les points associés aux trois vecteurs et $O$ sont dans un même plan. Avoir la même direction décrit plutôt la colinéarité, une condition plus restrictive.

Explication

Une combinaison linéaire de $u$ et $v$ s’écrit comme une somme de ces vecteurs multipliés par deux réels, qui peuvent être choisis indépendamment. La forme $\lambda(u+v)$ impose au contraire le même coefficient aux deux vecteurs.

Explication

Lorsque $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires, la coplanarité équivaut à l’écriture de $w$ comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs. L’écriture proposée avec un coefficient commun pour $u$ et $v$ est trop restrictive.

Explication

Cette condition définit l’indépendance linéaire de trois vecteurs, équivalente à leur non-coplanarité. La confusion consiste à associer indépendance et coplanarité, alors que ces propriétés s’excluent ici.

Explication

Un vecteur directeur est non nul et indique la direction de la droite. Le vecteur nul ne possède pas de direction et ne peut donc pas jouer ce rôle.

Explication

Un point appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, ce qui donne la relation indiquée. L’égalité des longueurs ne suffit pas à garantir que $M$ est sur cette droite.

Explication

L’appartenance au plan équivaut à exprimer $\overrightarrow{AM}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, avec deux coefficients réels. La colinéarité avec $\overrightarrow{AB}$ caractériserait un point sur la droite $(AB)$, et non dans tout le plan.

Explication

Une base de l’espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires. Trois vecteurs deux à deux perpendiculaires peuvent former une base, mais cette propriété supplémentaire n’est pas nécessaire à la définition.

Explication

Dans une base de l’espace, chaque vecteur possède une décomposition unique selon les trois vecteurs de base. Une écriture utilisant seulement deux vecteurs ne peut pas représenter tout vecteur de l’espace.

Explication

Un repère de l’espace associe une origine $O$ à une base de trois vecteurs $(i,j,k)$. Trois vecteurs coplanaires ne forment pas une base de l’espace.

Explication

Les coefficients de $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ donnent respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote du vecteur. Comme $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$, le point $M$ possède les mêmes coordonnées que $\vec{u}$.

Explication

On multiplie d’abord chaque coordonnée de $\vec{u}$ par $2$, puis on additionne les coordonnées correspondantes de $\vec{v}$, ce qui donne $(1;3;9)$. Soustraire les vecteurs au lieu de les additionner conduirait à d’autres coordonnées.

Explication

Le milieu s’obtient en faisant la moyenne des coordonnées correspondantes : $(3;\frac{1}{2};1)$. La différence des coordonnées, plutôt que leur moyenne, sert à calculer le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Explication

La norme est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées : $\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=7$. Additionner les valeurs absolues des coordonnées ne donne pas la formule de la norme euclidienne.

Explication

La représentation s’obtient en ajoutant à chaque coordonnée de $A$ le paramètre multiplié par la coordonnée correspondante du vecteur directeur. Le signe de la troisième coordonnée doit donc rester négatif, car la direction a pour troisième composante $-4$.

Explication

Les deux paramètres multiplient séparément les deux vecteurs directeurs, puis leurs composantes s’ajoutent aux coordonnées du point $A$. Une droite n’est décrite que par une direction et un paramètre, ce qui ne permet pas ici de représenter tout le plan.

Explication

Dans une base orthonormée, on multiplie les coordonnées correspondantes et on additionne : $1\times4+(-2)\times0+3\times(-1)=1$. Le produit des normes serait une autre quantité et ne prend pas directement en compte l’angle entre les vecteurs.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. La colinéarité se caractérise autrement et ne découle pas d’un produit scalaire nul pour des vecteurs non nuls.

Explication

Pour deux vecteurs non colinéaires, leur produit vectoriel est orthogonal à chacun et son orientation est fixée par la base directe formée avec les deux vecteurs. Un produit vectoriel nul correspond à des vecteurs colinéaires ou à un vecteur nul, et non simplement à deux vecteurs de même longueur.

Explication

La formule des coordonnées donne $u\wedge v=(2\times3-0\times1;\ 0\times0-1\times3;\ 1\times1-2\times0)=(6;-3;1)$. Le signe de la deuxième coordonnée vient du terme $u_zv_x-u_xv_z$.

Explication

L’aire géométrique est la norme du produit vectoriel, soit $4\times3\times|\sin(-30^\circ)|=6$. Le signe négatif concerne l’aire algébrique associée à l’orientation, pas l’aire géométrique.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Un produit scalaire nul caractérise plutôt l’orthogonalité, et ne suffit donc pas à établir la colinéarité.

Explication

La coplanarité équivaut à l’annulation du produit mixte $u\cdot(v\wedge w)$, et les trois produits mixtes obtenus par permutation circulaire coïncident. L’égalité avec le produit des normes ne caractérise pas la coplanarité, mais une situation d’alignement entre les facteurs du produit scalaire.