Flashcards : Géométrie vectorielle dans l’espace (71 cartes)

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1Question

Quand deux droites coplanaires sont-elles sécantes ?

Réponse

Lorsque leur intersection contient un point.

2Question

Quand deux droites coplanaires sont-elles strictement parallèles ?

Réponse

Lorsque leur intersection est vide.

3Question

Quand deux droites coplanaires sont-elles confondues ?

Réponse

Lorsque leur intersection est la droite entière.

4Question

Quand deux plans sont-ils sécants ?

Réponse

Lorsque leur intersection est une droite.

5Question

Quand deux plans sont-ils strictement parallèles ?

Réponse

Lorsque leur intersection est vide.

6Question

Quand deux plans sont-ils confondus ?

Réponse

Lorsque leur intersection est le plan entier.

7Question

Quand une droite et un plan sont-ils sécants ?

Réponse

Lorsque leur intersection est un point.

8Question

Quand une droite est-elle incluse dans un plan ?

Réponse

Lorsque leur intersection est la droite entière.

9Question

Quelle est la direction du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

Celle de la droite $(AB)$ .

10Question

Quel est le sens du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

De A vers B.

11Question

Quelle est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

La distance $AB$ .

12Question

Qu’écrit la relation de Chasles pour les points A, B et C ?

Réponse

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

13Question

À quelles conditions deux vecteurs sont-ils égaux ?

Réponse

Ils ont même direction, même sens et même norme.

14Question

Quand deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ sont-ils colinéaires ?

Réponse

Lorsqu’il existe un réel $k$ tel que $v=ku$ .

15Question

Quelle condition caractérise l’alignement de trois points $A$ , $B$ et $C$ ?

Réponse

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

16Question

Quand trois vecteurs u, v et w sont-ils coplanaires ?

Réponse

Lorsqu'O, A, B et C appartiennent à un même plan pour tout point O tel que $u=\overrightarrow{OA}$ , $v=\overrightarrow{OB}$ et $w=\overrightarrow{OC}$ .

17Question

Quand w est-il une combinaison linéaire de u et v ?

Réponse

Lorsqu’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $w=\alpha u+\beta v$ .

18Question

Si u et v ne sont pas colinéaires, quelle condition caractérise la coplanarité de u, v et w ?

Réponse

Il existe deux réels a et b tels que $w=au+bv$ .

19Question

Quelle condition sur a, b et c caractérise l’indépendance linéaire de u, v et w ?

Réponse

L’égalité $au+bv+cw=0$ entraîne $a=b=c=0$ .

20Question

À quoi équivaut l’indépendance linéaire de trois vecteurs ?

Réponse

Ils ne sont pas coplanaires.

21Question

Qu’est-ce qu’un vecteur directeur d’une droite ?

Réponse

Un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.

22Question

Pour quels points distincts A et B M appartient-il à la droite (AB) ?

Réponse

Lorsque $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

23Question

Quelle équation vectorielle caractérise M sur la droite (AB), avec A et B distincts ?

Réponse

$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel $k$ .

24Question

Quelle relation caractérise l’appartenance de M au plan (ABC), avec A, B et C non alignés ?

Réponse

$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ pour certains réels $x$ et $y$ .

25Question

De combien de vecteurs non coplanaires une base de l’espace est-elle formée ?

Réponse

Trois vecteurs non coplanaires.

26Question

Quelle écriture unique admet tout vecteur $u$ dans la base $(i,j,k)$ ?

Réponse

$u=xi+yj+zk$ , avec $x,y,z\in\mathbb{R}$ .

27Question

Quels éléments composent un repère de l’espace noté $(O;i,j,k)$ ?

Réponse

Un point $O$ , origine du repère, et une base $(i,j,k)$ .

28Question

Dans un repère, quelles sont les coordonnées de $u=xi+yj+zk$ ?

Réponse

$(x;y;z)$ , où $x$ est l’abscisse, $y$ l’ordonnée et $z$ la cote.

29Question

Quelles coordonnées possède le point $M$ si $\overrightarrow{OM}=u$ ?

Réponse

Les mêmes coordonnées que $u$ .

30Question

Comment calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs ?

Réponse

On additionne leurs coordonnées composante par composante.

31Question

Comment calculer les coordonnées de $\alpha u$ à partir de celles de $u$ ?

Réponse

On multiplie chaque coordonnée de $u$ par $\alpha$ .

32Question

Comment calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ à partir de celles de $A$ et $B$ ?

Réponse

On soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$ , composante par composante.

33Question

Comment calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$ ?

Réponse

On prend la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ , composante par composante.

34Question

Comment calculer la norme de $u=(x;y;z)$ dans un repère orthonormé ?

Réponse

$\|u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

35Question

Comment calculer la distance $AB$ dans un repère orthonormé ?

Réponse

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ .

36Question

Quelle représentation paramétrique décrit une droite passant par A et dirigée par u ?

Réponse

$x=x_A+at,\quad y=y_A+bt,\quad z=z_A+ct,\quad t\in\mathbb{R}$

37Question

Quelle représentation paramétrique décrit un plan passant par A et dirigé par u et v ?

Réponse

$x=x_A+at+\alpha t',\quad y=y_A+bt+\beta t',\quad z=z_A+ct+\gamma t',\quad t,t'\in\mathbb{R}$

38Question

Comment définit-on le produit scalaire usuel de deux vecteurs à l’aide de l’angle ?

Réponse

$u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos(\overline{u,v})$ , avec un angle non nécessairement orienté.

39Question

Comment s’écrit le produit scalaire de deux vecteurs en coordonnées dans une base orthonormée ?

Réponse

$u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

40Question

Comment calcule-t-on la norme d’un vecteur en coordonnées dans une base orthonormée ?

Réponse

$\|u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$

41Question

Quelle condition caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs ?

Réponse

Leur produit scalaire est nul.

42Question

Dans quels cas le produit vectoriel de deux vecteurs est-il nul ?

Réponse

Lorsque les vecteurs sont colinéaires ou que l’un est nul.

43Question

Quelle norme caractérise le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires ?

Réponse

$\|u\wedge v\|=\|u\|\|v\||\sin(\widehat{u,v})|$

44Question

Quelles sont les coordonnées de $u\wedge v$ dans une base orthonormée directe ?

Réponse

$(u_yv_z-u_zv_y;\ u_zv_x-u_xv_z;\ u_xv_y-u_yv_x)$

45Question

Quelle est l’aire géométrique du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ ?

Réponse

$\|u\wedge v\|=\|u\|\|v\||\sin\theta|$ .

46Question

Quelle expression donne l’aire algébrique du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ dans le plan orienté ?

Réponse

$\|u\|\|v\|\sin\theta$ .

47Question

Quelle condition caractérise la colinéarité de $u$ et $v$ ?

Réponse

$u\wedge v=0$ .

48Question

Quelle condition caractérise la coplanarité de $u$ , $v$ et $w$ par leurs produits mixtes ?

Réponse

$u\cdot(v\wedge w)=v\cdot(w\wedge u)=w\cdot(u\wedge v)=0$ .

49Question

Que peut-on affirmer des trois produits mixtes de $u$ , $v$ et $w$ ?

Réponse

Ils coïncident.

50Question

Que vaut $\overrightarrow{AB}$ lorsqu'A et B sont confondus ?

Réponse

Le vecteur nul.

51Question

Quelle est la norme du vecteur nul ?

Réponse

52Question

Quand le produit $k\vec{u}$ est-il nul ?

Réponse

Lorsque $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$ .

53Question

À quels vecteurs le vecteur nul est-il colinéaire ?

Réponse

À tout vecteur.

54Question

Quelle condition caractérise le parallélisme des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?

Réponse

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

55Question

Que peut-on conclure si deux vecteurs parmi u, v et w sont colinéaires ?

Réponse

Les trois vecteurs sont coplanaires.

56Question

Quelles configurations de points ou de droites définissent un plan ?

Réponse

Trois points distincts non alignés, une droite et un point extérieur, deux droites sécantes ou deux droites strictement parallèles.

57Question

Quel point permet de définir un plan avec une droite ?

Réponse

Un point extérieur à cette droite.

58Question

Quelle configuration de deux droites définit un plan ?

Réponse

Deux droites strictement parallèles.

59Question

Quel point appartient à la droite représentée par $x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct$ ?

Réponse

$(x_0;y_0;z_0)$

60Question

Quel vecteur dirige la droite représentée par $x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct$ ?

Réponse

$(a;b;c)$

61Question

Quelle formule exprime la norme d’un vecteur à partir de son produit scalaire avec lui-même ?

Réponse

$\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$

62Question

Quelle norme caractérise un vecteur unitaire ?

Réponse

Sa norme vaut 1.

63Question

Quelle propriété du produit scalaire exprime l’égalité $u\cdot v=v\cdot u$ ?

Réponse

La symétrie.

64Question

Quelle égalité caractérise la colinéarité de deux vecteurs ?

Réponse

$|u\cdot v|=\|u\|\|v\|$

65Question

Dans quelle dimension le produit vectoriel existe-t-il ?

Réponse

Dans l’espace de dimension 3.

66Question

Quelle relation exprime l’antisymétrie du produit vectoriel ?

Réponse

$u\wedge v=-v\wedge u$

67Question

Comment se développe $(u+w)\wedge v$ par bilinéarité ?

Réponse

$(u+w)\wedge v=u\wedge v+w\wedge v$

68Question

Comment se développe $u\wedge(v+w)$ par bilinéarité ?

Réponse

$u\wedge(v+w)=u\wedge v+u\wedge w$

69Question

Quel est le produit vectoriel de deux vecteurs du plan de base $(e_x,e_y)$ ?

Réponse

$(u_xv_y-u_yv_x)e_z$

70Question

Quelle direction le vecteur $u\wedge v$ a-t-il par rapport à $u$ et $v$ ?

Réponse

Il est orthogonal à $u$ et à $v$ .

71Question

Quel rôle joue $u\wedge v$ pour un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $u$ et $v$ ?

Réponse

Il constitue un vecteur normal au plan.

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1. Deux droites coplanaires ont pour intersection un seul point. Quelle est leur position relative ?

2. Deux plans distincts n’ont aucun point commun. Quelle est leur position relative ?

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