Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et vocabulaire des fonctions
2. Représentation graphique des fonctions
3. Variations et extrema d’une fonction
4. Résolution graphique des équations
5. Résolution graphique des inéquations

📖 1. Définition et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction à valeurs réelles : Procédé qui associe à tout réel x de D un unique réel f(x).
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f est définie.

★ À maîtriser

📌 Si f(a) = b, alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f ; une valeur peut avoir plusieurs antécédents.

Compléments

• Pour f définie sur ℝ par f(x) = -3x + 4, l’image de 0 est 4, f(4) = -8 et l’antécédent de -3 est 7/3.

💡 Astuce mémo

Une entrée, une image unique ; une image peut avoir plusieurs antécédents.

📖 2. Représentation graphique des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points de coordonnées (x ; y) tels que x appartient à D et y = f(x) ; une équation de cette courbe est y = f(x).

★ À maîtriser

📌 Une lecture graphique donne des valeurs approchées, sauf lorsque le codage indique les coordonnées exactes de certains points.

Compléments

• Dans l’exemple de la température observée pendant une journée, le domaine de définition est [0 ; 24] et l’image de 2 est -2 °C.

• Dans l’exemple de la température journalière, les antécédents de 3 °C sont 15 et 20, correspondant aux heures où cette température est atteinte.

📖 3. Variations et extrema d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Fonction telle que, pour tous u et v de I, u ≤ v entraîne f(u) ≤ f(v).
• Fonction décroissante : Fonction telle que, pour tous u et v de I, u ≤ v entraîne f(u) ≥ f(v).
• Maximum : Une fonction f admet un maximum M en a sur I si, pour tout x de I, f(x) ≤ M = f(a).
• Minimum : Une fonction f admet un minimum m en b sur I si, pour tout x de I, f(x) ≥ m = f(b).

📝 Points essentiels

• Un tableau de variation indique les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante ainsi que ses valeurs remarquables.

💡 Astuce mémo

Quand x augmente, f(x) monte pour une fonction croissante et descend pour une fonction décroissante.

📖 4. Résolution graphique des équations

★ À maîtriser

📌 Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec la droite d’équation y = k.

📌 Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes de f et de g.

Compléments

• Dans l’exemple graphique du cours, f(x) = 1 a pour solutions -4, 2 et 6 ; f(x) = 2 a pour solutions -3, -1, 0 et 1 ; f(x) = -1 a pour solution 3 ; f(x) = -2 n’a aucune solution.

• Dans un exemple du cours, l’équation f(x) = g(x) a pour solutions x = -3 et x = 0.

💡 Astuce mémo

La droite horizontale y = k coupe la courbe aux abscisses solutions de f(x) = k.

📖 5. Résolution graphique des inéquations

★ À maîtriser

📌 Les solutions de f(x) ≤ k sont les abscisses des points de la courbe de f situés en dessous ou sur la droite d’équation y = k.

Compléments

• Dans l’exemple graphique du cours, f(x) ≤ 2 équivaut à x ∈ [-4 ; -3] ∪ [-1 ; 0] ∪ [1 ; 6], tandis que f(x) > 2 équivaut à x ∈ ]-3 ; -1[ ∪ ]0 ; 1[.

• Dans l’application du cours, le domaine est D = [-1 ; 5], les solutions de f(x) = g(x) sont 0 et 3, celles de f(x) < 1 sont [-1 ; 0[ ∪ ]3 ; 5], et celles de f(x) > g(x) sont ]0 ; 3[.

💡 Astuce mémo

Sous la droite ou la courbe : f(x) ≤ k ou f(x) ≤ g(x) ; au-dessus : les inégalités inverses.