Fiche de révision : Calcul tensoriel et dérivée covariante

📋 Plan du Cours

1. Espaces vectoriels et coordonnées
2. Changements de base et Jacobienne
3. Espace dual et formes linéaires
4. Définition et types de tenseurs
5. Produit tensoriel et bases
6. Métrique et indices
7. Dérivée covariante
8. Applications en mécanique des milieux

📖 1. Espaces vectoriels et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble stable par addition et par multiplication par un scalaire réel.
• Base vectorielle : Famille de vecteurs telle que tout vecteur s’écrit comme une combinaison linéaire de ses éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un vecteur s’écrit $\mathbf{u}=\sum_{i=1}^{N}u_i e_i$, où les $u_i$ sont ses coordonnées dans la base $(e_i)$.

Compléments

• Dans ce cours, les espaces vectoriels étudiés sont de dimension finie.

📖 2. Changements de base et Jacobienne

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un changement de coordonnées, les composantes d’un vecteur vitesse vérifient $v_i=\sum_j\frac{\partial x_i}{\partial y_j}V_j$.

📐 Formule — La nouvelle base est reliée à l’ancienne par $E_j=\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial y_j}e_i$.

📐 Formule — Les composantes d’un vecteur se transforment selon $u_i=\sum_j A^j_iU_j$.

Compléments

📐 Formule — La matrice de changement de base est la matrice jacobienne définie par $A^j_i=\frac{\partial x_i}{\partial y_j}$.

💡 Astuce mémo

Changement de coordonnées → transformation des composantes

📖 3. Espace dual et formes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace dual : Espace dont les éléments sont des formes linéaires, c’est-à-dire des fonctions linéaires de l’espace vectoriel vers les réels.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une forme linéaire s’écrit $\lambda=\sum_i\lambda_i e^i$, où les $\lambda_i$ sont ses coordonnées dans la base duale.

📐 Formule — Les bases vectorielle et duale vérifient la relation canonique $\langle e^j,e_i\rangle=\delta^j_i$, avec $\delta^j_i=1$ si $i=j$ et $\delta^j_i=0$ sinon.

Compléments

📐 Formule — L’application d’une forme linéaire sur un vecteur donne le scalaire invariant $\langle\lambda,\mathbf{u}\rangle=\sum_i\lambda_i u_i$.

💡 Astuce mémo

Vecteur : indice haut ; forme linéaire : indice bas

📖 4. Définition et types de tenseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur : Objet dont les composantes suivent la loi de changement de base associant un facteur de transformation à chacun de ses indices covariants et contravariants.

★ À maîtriser

• Un tenseur de type $(p,q)$ possède $p$ indices contravariants, $q$ indices covariants et est de rang $p+q$.

📐 Formule — Le changement de composantes d’un tenseur de type $(p,q)$ s’obtient en multipliant par $\frac{\partial y^{I}}{\partial x^{i}}$ pour chaque indice contravariant et par $\frac{\partial x_j}{\partial y_J}$ pour chaque indice covariant, puis en sommant les indices répétés.

Compléments

• Un vecteur est un tenseur de type $(1{,}0)$, une forme linéaire est de type $(0{,}1)$ et un tenseur à une composante haute et une composante basse est de type $(1{,}1)$.

📖 5. Produit tensoriel et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit tensoriel : Opération qui associe deux tenseurs pour former un tenseur dont le type est obtenu en additionnant leurs types.

★ À maîtriser

• Si $T$ est de type $(a,b)$ et $S$ de type $(c,d)$, alors $T\otimes S$ est de type $(a+c,b+d)$.

📌 Le produit tensoriel n’est pas commutatif : en général, $e_i\otimes e^j\ne e^j\otimes e_i$.

Compléments

📐 Formule — Pour un vecteur $\mathbf{u}$ et une forme linéaire $\lambda$, le produit tensoriel possède les composantes $T^i_j=u^i\lambda_j$ et est de type $(1{,}1)$.

💡 Astuce mémo

Le produit tensoriel combine les types, mais n’est pas commutatif

📖 6. Métrique et indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur métrique : Tenseur symétrique de type $(0{,}2)$ défini par $g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs s’écrit $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\sum_{i,j}u^iv^jg_{ij}$.

📐 Formule — La descente d’un indice transforme un vecteur selon $u_i=\sum_j g_{ij}u^j$, tandis que la montée d’un indice transforme une forme linéaire selon $\lambda^i=\sum_jg^{ij}\lambda_j$.

Compléments

📐 Formule — Les composantes métriques vérifient $\sum_jg_{ij}g^{jk}=\delta_i^k$, donc les matrices $G=(g_{ij})$ et $G^{-1}=(g^{ij})$ sont inverses.

💡 Astuce mémo

Métrique → montée/descente → produit scalaire

📖 7. Dérivée covariante

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée covariante : Dérivée qui tient compte de la variation des vecteurs de base lorsque le système de coordonnées n’est pas euclidien.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées des vecteurs de base sont définies par $\frac{\partial e_i}{\partial x_j}=\sum_k\Gamma^k_{ij}e_k$, où les $\Gamma^k_{ij}$ sont les coefficients de Christoffel de deuxième espèce.

📐 Formule — La dérivée covariante d’un vecteur s’écrit $\nabla_j\mathbf{u}=\sum_i\left(\frac{\partial u^i}{\partial x_j}+\sum_k u^k\Gamma^i_{kj}\right)e_i$.

📐 Formule — Les coefficients de Christoffel de deuxième espèce se calculent par $\Gamma^p_{ij}=\frac12\sum_k g^{kp}\left(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x_i}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x_j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_k}\right)$.

Compléments

📐 Formule — La divergence d’un vecteur s’exprime dans cette notation par $\operatorname{div}\mathbf{v}=\sum_i\nabla_i v^i$.

💡 Astuce mémo

Base variable → coefficients de Christoffel → dérivée covariante

📖 8. Applications en mécanique des milieux

★ À maîtriser

📐 Formule — En élasticité linéaire et pour de petites déformations dans un espace euclidien, la loi de Hooke s’écrit $\sigma_{ij}=\sum_{k,l}C_{ijkl}\varepsilon_{kl}$.

📐 Formule — Dans un espace euclidien, le tenseur des déformations linéaires est $\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$.

Compléments

• Pour un tenseur de type $(1{,}1)$, la trace est définie par $\operatorname{tr}(A)=\sum_iA^i_i$ et reste inchangée lors d’un changement de base.

• Le déterminant d’une matrice est également un invariant mentionné dans le cours.

📊 Tableaux de synthèse

Types tensoriels fondamentaux