Calcul tensoriel et dérivée covariante

📋 Plan du Cours

1. Espaces vectoriels et coordonnées
2. Changements de base et Jacobienne
3. Espace dual et formes linéaires
4. Définition et types de tenseurs
5. Produit tensoriel et bases
6. Métrique et indices
7. Dérivée covariante
8. Applications en mécanique des milieux

📖 1. Espaces vectoriels et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble stable par addition et par multiplication par un scalaire réel.
• Base vectorielle : Famille de vecteurs telle que tout vecteur s’écrit comme une combinaison linéaire de ses éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un vecteur s’écrit $\mathbf{u}=\sum_{i=1}^{N}u_i e_i$, où les $u_i$ sont ses coordonnées dans la base $(e_i)$.

Compléments

• Dans ce cours, les espaces vectoriels étudiés sont de dimension finie.

📖 2. Changements de base et Jacobienne

📐 Formule — Pour un changement de coordonnées, les composantes d’un vecteur vitesse vérifient $v_i=\sum_j\frac{\partial x_i}{\partial y_j}V_j$.

📐 Formule — La nouvelle base est reliée à l’ancienne par $E_j=\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial y_j}e_i$.