Fiche de révision : Calculs avec les fractions

📋 Plan du Cours

1. Propriété fondamentale des fractions
2. Addition et soustraction
3. Multiplication des fractions
4. Inverses et division

📖 1. Propriété fondamentale des fractions

★ À maîtriser

📌 La valeur d’une fraction ne change pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés ou divisés par un même nombre non nul.

📐 Formule — Si $b \ne 0$ et $k \ne 0$, alors $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}=\frac{a\div k}{b\div k}$.

• 🔄 Pour simplifier une fraction, on:
  1. choisit un diviseur commun non nul
  2. divise le numérateur par ce diviseur
  3. divise le dénominateur par ce diviseur

Compléments

• Pour comparer $\frac{4}{3}$ et $\frac{15}{9}$, on écrit $\frac{4}{3}=\frac{12}{9}$, puis on conclut que $\frac{4}{3}<\frac{15}{9}$.

• La fraction $\frac{48}{56}$ se simplifie en $\frac{6}{7}$ en divisant son numérateur et son dénominateur par 8.

💡 Astuce mémo

Même facteur au numérateur et au dénominateur → même valeur

📖 2. Addition et soustraction

★ À maîtriser

• 🔄 Pour additionner ou soustraire deux fractions, on: réduit les fractions au même dénominateur si nécessaire, additionne ou soustrait les numérateurs, conserve le dénominateur commun, simplifie le résultat si possible

Compléments

• On a $\frac{2}{5}+\frac{-3}{5}=\frac{2+(-3)}{5}=-\frac{1}{5}$ lorsque les fractions ont déjà le même dénominateur.

• Pour calculer $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}$, on écrit $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, puis $\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$.

• Pour calculer $\frac{1}{4}+\frac{7}{6}$, on obtient $\frac{6}{24}+\frac{28}{24}=\frac{34}{24}=\frac{17}{12}$.

💡 Astuce mémo

Dénominateur commun → calcul des numérateurs → simplification

📖 3. Multiplication des fractions

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

📌 Calculer une fraction d’une fraction revient à multiplier les deux fractions entre elles.

Compléments

• Le produit $\frac{2}{3}\times\frac{-4}{5}$ vaut $\frac{-8}{15}$.

• Si $\frac{2}{3}$ des 30 bonbons sont jaunes et que $\frac{2}{5}$ des bonbons jaunes sont au citron, la proportion de bonbons au citron est $\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{15}$.

💡 Astuce mémo

Deux fractions se croisent : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble

📖 4. Inverses et division

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres non nuls dont le produit est égal à 1

★ À maîtriser

📌 L’inverse d’un nombre non nul $a$ est $\frac{1}{a}$, et l’inverse d’une fraction non nulle $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

📐 Formule — Pour $b\ne0$, on a $a\div b=a\times\frac{1}{b}$, et pour $b\ne0$, $c\ne0$ et $d\ne0$, on a $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$.

Compléments

• Le nombre 1 est son propre inverse, le nombre -1 est son propre inverse et 0 est le seul nombre qui n’a pas d’inverse.

• On calcule $-\frac{4}{9}\div\frac{3}{-2}=-\frac{4}{9}\times\frac{-2}{3}=\frac{8}{27}$.

• On calcule $\frac{5}{3}\div4=\frac{5}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par l’inverse, ce n’est pas multiplier par le même nombre