Fiche de révision : Calculs et géométrie au collège

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Racines carrées et arrondis
3. Division euclidienne et nombres premiers
4. Divisibilité et fractions irréductibles
5. Fractions, puissances et signes
6. Pourcentages et fractions décimales
7. Angles et trigonométrie
8. Repérage et aire du triangle
9. Calculs et automatismes

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

★ À maîtriser

• Pour calculer un côté d’un triangle rectangle, on écrit l’égalité de Pythagore, on isole le carré du côté recherché, puis on prend sa racine carrée.

• 🔄 Pour tester si un triangle est rectangle, : repérer le plus grand côté, calculer son carré, calculer la somme des carrés des deux autres côtés, comparer les résultats

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Dans le triangle RAT rectangle en T, avec AT = 4 cm et TR = 6 cm, AR² = 4² + 6² = 52, donc AR = √52 cm ≈ 7,2 cm au millimètre près.

• Dans RIZ, 13,6² = 184,96 et 6,4² + 12² = 184,96 ; le triangle est donc rectangle en R.

• Dans FUN, 13² = 169 tandis que 6² + 11² = 157 ; le triangle n’est donc pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse au carré = somme des deux côtés au carré

📖 2. Racines carrées et arrondis

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le seul nombre positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📌 Pour a ≥ 0, √a ≥ 0 et (√a)² = a.

Compléments

• Les carrés parfaits de 1² à 8² sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.

• Les carrés parfaits de 9² à 15² ainsi que 25² sont :

  • 81
  • 100
  • 121
  • 144
  • 169
  • 196
  • 225
  • 625

• Pour arrondir une racine carrée à une précision donnée, on encadre sa valeur décimale entre les deux valeurs consécutives à cette précision et on retient l’arrondi indiqué par le cours.

• Pour √3 ≈ 1,732050808, les arrondis donnés sont 2 à l’unité près, 1,7 au dixième près et 1,73 au centième près.

📖 3. Division euclidienne et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne d’un dividende par un diviseur s’écrit dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste strictement inférieur au diviseur.
• Nombre premier : Un nombre premier est un nombre entier divisible uniquement par 1 et par lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers écrit un nombre entier comme un produit de nombres premiers.

★ À maîtriser

📌 Un entier est un multiple d’un autre entier lorsque la division euclidienne par celui-ci a un reste nul.

Compléments

• La division euclidienne de 238 par 13 donne le quotient 18 et le reste 4, car 238 = 13 × 18 + 4 et 4 < 13.

• Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Les décompositions en facteurs premiers données sont 60 = 2² × 3 × 5 et 126 = 2 × 3² × 7.

📖 4. Divisibilité et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux s’ils ont 1 pour seul diviseur commun.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et divisible par 10 si ce chiffre est 0.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3, et divisible par 9 si cette somme est dans la table de 9.

Compléments

• 10 et 21 sont premiers entre eux, car 10 = 2 × 5 et 21 = 3 × 7 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

• Pour rendre 60/126 irréductible, on décompose 60 = 2 × 2 × 3 × 5 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7, puis on simplifie les facteurs communs pour obtenir 10/21.

📖 5. Fractions, puissances et signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance aⁿ représente le produit de n facteurs identiques égaux à a, et n est l’exposant.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, après avoir recherché les facteurs communs à simplifier.

📐 Formule - Pour a non nul, $a^{-5} = \frac{1}{a^5} = \frac{1}{a \times a \times a \times a \times a}$.

📌 Dans un produit de facteurs négatifs, le résultat est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair et positif s’il est pair.

Compléments

• Dans l’exemple donné, 27/56 × 8/9 se simplifie en 3/7 après décomposition et réduction des facteurs communs.

• Les exemples de puissances sont 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.

• Les exemples avec des nombres négatifs sont (−2)³ = −8, (−3)² = 9, −2³ = −8 et −3² = −9.

📖 6. Pourcentages et fractions décimales

★ À maîtriser

📐 Formule - Un pourcentage a % correspond à la fraction $\frac{a}{100}$.

Compléments

• 10/100 = 0,1 = 10 %.

• Pour diminuer de 10 % un article coûtant 80 €, on calcule 80 − (10/100) × 80.

• Les fractions décimales données s’écrivent 7/10 = 0,7, 8/100 = 0,08 et 19/1000 = 0,019.

📖 7. Angles et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles complémentaires : Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90°.

★ À maîtriser

• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et les deux autres côtés sont perpendiculaires.

Compléments

• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme égale à 90°.

• Le cours indique que deux angles dont la somme est égale à 180° forment une paire d’angles supplémentaires.

📖 8. Repérage et aire du triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère est orthonormé lorsque la même unité est choisie sur ses deux axes.

★ À maîtriser

• Dans un repère orthogonal, l’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées et leur point de rencontre est l’origine.

• Dans un couple de coordonnées comme (−2 ; 2), la première valeur est l’abscisse et la seconde est l’ordonnée.

📐 Formule - L’aire d’un triangle se calcule par $\frac{b \times h}{2}$, où b est la base et h la hauteur correspondante.

Compléments

• La notation du cours distingue les points A et B, la droite (AB), le segment [AB], la demi-droite [AB) et l’arc de cercle $\widehat{AB}$.

📖 9. Calculs et automatismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : La notation scientifique d’un nombre s’écrit a × 10ⁿ, où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10.

★ À maîtriser

• Pour une puissance de 10 à exposant entier positif n, $10^n$ s’écrit avec 1 suivi de n zéros.

Compléments

• Les exemples donnés sont 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000 et 10⁹ = 1 000 000 000.

• 10⁻² = 1/100 = 0,01, soit un centième, et 10⁻³ = 1/1000 = 0,001, soit un millième.

• 3,112 × 10⁸ = 311 200 000 ; un exposant positif déplace la virgule vers la droite.

• La distance Terre–Mars donnée dans l’exercice est d’environ 311 200 000 km, soit 3,112 × 10⁸ km en notation scientifique.

📐 Formule - La distance parcourue à vitesse constante vérifie $d = v \times t$.

• Dans l’exercice, un vélo roule 2 h 30 min à 40 km/h et la distance demandée se calcule par vitesse × durée.

📐 Formule - Le prix après une baisse de p % sur un prix initial P se calcule par $P - \frac{p}{100} \times P$.