QCM : Calculs et géométrie au collège (28 questions)

Explication

Le théorème de Pythagore affirme que le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. L’égalité entre les longueurs elles-mêmes ne constitue pas le théorème.

Explication

On isole d’abord le carré du côté recherché dans l’égalité de Pythagore, puis on prend sa racine carrée pour obtenir la longueur. Diviser le carré de l’hypoténuse par le côté connu ne permet pas d’isoler ce carré.

Explication

Il faut choisir le plus grand côté, 13 cm, puis comparer son carré à la somme des carrés des deux autres côtés. Comparer les longueurs elles-mêmes ne constitue pas le test de Pythagore.

Explication

La réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle lorsque l’égalité est vérifiée pour son plus grand côté. Cette égalité ne permet pas de conclure que le triangle est équilatéral.

Explication

La racine carrée de $a$ est définie comme le nombre positif dont le carré vaut $a$. La racine carrée de $a^2$ porte sur le carré de $a$, et non directement sur $a$.

Explication

Pour tout $a \geq 0$, le carré de $\sqrt{a}$ est égal à $a$. L’égalité $\sqrt{a^2}=a^2$ confond la racine carrée d’un carré avec le carré lui-même.

Explication

La division euclidienne exprime le dividende comme le produit du diviseur et du quotient, augmenté du reste, lequel est inférieur au diviseur. Intervertir le rôle du quotient et du reste ne donne pas la relation de division euclidienne.

Explication

Un entier est un multiple d’un autre lorsque la division euclidienne par celui-ci a un reste nul. Un quotient nul indique une situation différente et ne caractérise pas la divisibilité.

Explication

Un nombre premier est un entier qui n’a que 1 et lui-même comme diviseurs. Le fait d’être impair ne suffit pas à le rendre premier, car certains entiers impairs ont d’autres diviseurs.

Explication

Une décomposition en facteurs premiers écrit un entier sous la forme d’un produit de nombres premiers. Un produit de facteurs quelconques peut représenter le nombre, mais ne constitue pas nécessairement une décomposition en facteurs premiers.

Explication

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Deux nombres premiers, contrairement à ce que pourrait laisser croire la confusion, doivent chacun avoir exactement deux diviseurs positifs.

Explication

La divisibilité par 4 se vérifie en regardant si le nombre formé par les deux derniers chiffres appartient à la table de 4 ; 32 y appartient. Le chiffre des unités seul sert notamment à tester la divisibilité par 2, pas par 4.

Explication

Pour tester la divisibilité par 3 ou par 9, on vérifie si la somme des chiffres est un multiple du diviseur concerné ; ici, la somme vaut 11. Examiner seulement le chiffre des unités est le critère de divisibilité par 2, et non celui de divisibilité par 3 ou 9.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Cela ne signifie pas que son dénominateur vaut 1 : une fraction comme 3/7 peut être irréductible.

Explication

L’addition de fractions nécessite qu’elles aient le même dénominateur. Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux est la règle de multiplication des fractions, pas celle de leur addition.

Explication

Le produit de fractions s’obtient en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, après recherche de facteurs communs à simplifier. Exiger un dénominateur commun correspond à l’addition ou à la soustraction, et non à la multiplication.

Explication

L’exposant indique combien de facteurs égaux à la base sont multipliés entre eux. La base, et non l’exposant, est la valeur du facteur répété.

Explication

Un produit comportant un nombre impair de facteurs négatifs est négatif ; cinq est un nombre impair. La règle du signe positif s’applique lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair, et non impair.

Explication

Un pourcentage de $a\%$ correspond à la fraction $\frac{a}{100}$. La fraction $\frac{100}{a}$ inverse le numérateur et le dénominateur et ne représente généralement pas ce pourcentage.

Explication

Une baisse de 10 % consiste à soustraire au prix initial 10 % de ce prix, soit $\frac{10}{100}\times 80$. Ajouter cette quantité correspondrait à une hausse de 10 %, et non à une réduction.

Explication

Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°, comme ici. Des angles supplémentaires ont une somme de 180°, et non de 90°.

Explication

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit; les deux autres côtés sont perpendiculaires. Un côté qui forme l’angle droit avec un autre est l’un des deux côtés perpendiculaires, pas l’hypoténuse.

Explication

L’axe horizontal est l’axe des abscisses, et le point de rencontre des axes est l’origine. L’axe des ordonnées est vertical, ce qui constitue la confusion la plus plausible.

Explication

Un repère est orthonormé lorsque la même unité est choisie sur chacun de ses deux axes. Des axes parallèles ne constituent pas un repère, puisqu’ils ne se rencontrent pas en une origine commune.

Explication

Dans un couple écrit (abscisse ; ordonnée), la première valeur est l’abscisse; ici, c’est −2. La seconde valeur correspond à l’ordonnée, même si elle est positive.

Explication

L’aire d’un triangle se calcule avec la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante, soit $\frac{10 \times 6}{2}=30$ cm². Le produit non divisé par deux, 60 cm², correspond au double de l’aire du triangle.

Explication

Pour un exposant entier positif, $10^n$ s’écrit avec 1 suivi de n zéros; ainsi $10^5=100\ 000$. La valeur 10 000 correspond à un exposant égal à 4.

Explication

La notation scientifique s’écrit $a \times 10^n$ avec un nombre décimal $a$ tel que $1 \leq a < 10$; 4,7 satisfait cette condition. Dans $0,47 \times 10^4$, le coefficient est inférieur à 1 et ne respecte donc pas la forme requise.