Fiche de révision : Champ magnétostatique et applications

📋 Plan du Cours

1. Sources et propriétés du champ magnétique
2. Symétries et topographie magnétique
3. Dipôles et aimantation de la matière
4. Champ terrestre et aurores polaires
5. Théorème d’Ampère et conducteurs
6. Solénoïde, inductance et énergie
7. Opérateurs différentiels et théorèmes

📖 1. Sources et propriétés du champ magnétique

★ À maîtriser

• En régime statique, un champ magnétique est produit par des aimants permanents ou par un courant électrique circulant dans une boucle fermée.

• Le champ magnétique terrestre vaut environ $5\times10^{-5}\,\mathrm{T}$, celui d’un aimant permanent usuel environ 0,1 à 1 T, et celui d’un laboratoire ou d’une IRM environ 1 à 10 T.

📌 Le principe de superposition s’applique au champ magnétique parce que les équations fondamentales de l’électromagnétisme sont linéaires.

• Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul, et le flux à travers une surface ouverte ne dépend que de son contour.

Compléments

• La loi de Biot et Savart, qui permettrait d’exprimer le champ créé par un courant, n’est pas au programme du cours.

• Le champ magnétique s’exprime en teslas et sa dimension est $\mathrm{kg\,A^{-1}\,s^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

Aimant permanent ou courant fermé : deux sources distinctes de B.

📖 2. Symétries et topographie magnétique

★ À maîtriser

📌 Les règles de symétrie du champ magnétique sont opposées à celles du champ électrique, tandis que leurs règles d’invariance sont les mêmes.

📌 Les invariances par translation ou par rotation de la distribution de courant déterminent les variables dont dépend le champ magnétique.

• Les lignes de champ magnétostatique sont des courbes fermées qui enlacent des courants ou traversent un aimant équivalent.

📌 Les lignes de champ magnétique ne convergent ni ne divergent en un point, et leur resserrement indique un champ plus intense.

Compléments

📌 Un plan de symétrie ou d’antisymétrie de la distribution de courant permet de déterminer la direction du champ magnétique en un point situé dans ce plan, selon les règles de symétrie propres à B.

• Pour un fil infini parcouru par un courant, le champ s’écrit sous la forme $\vec B(H)=B(r)\vec U_\theta$, avec une intensité dépendant de la distance à l’axe.

💡 Astuce mémo

Courant → symétries et invariances → direction et variables de B.

📖 3. Dipôles et aimantation de la matière

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment magnétique : Associé à un circuit fermé de petite taille par rapport à la distance d’étude, indéformable, de section projetée S et parcouru par un courant i.
• Aimantation : Densité volumique de moment magnétique d’un matériau ; à saturation, le cours écrit $M=n_v\mu_B$.

★ À maîtriser

📌 Dans un champ extérieur, un dipôle magnétique est entraîné vers les zones de champ intense et s’aligne dans la direction et le sens de ce champ.

Compléments

📐 Formule - Le champ d’un dipôle magnétique est $\vec{B}\simeq\frac{\mu_0m\cos\theta}{2\pi r^3}\vec e_r+\frac{\mu_0m\sin\theta}{4\pi r^3}\vec e_\theta$, avec $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$.

• Le moment magnétique d’une spire de surface 10 cm² parcourue par un courant de 1 A vaut environ $10^{-3}\,\mathrm{A\,m^2}$.

• Le moment magnétique d’un aimant permanent usuel vaut environ 1 à 10 A·m², tandis que celui de la Terre vaut environ $8\times10^{22}\,\mathrm{A\,m^2}$.

📐 Formule - Dans le modèle planétaire de l’atome d’hydrogène, le magnéton de Bohr est $\mu_B=\frac{e\hbar}{2m}\simeq9{,}2\times10^{-24}\,\mathrm{A\,m^2}$ et donne l’ordre de grandeur des moments magnétiques atomiques.

• Pour un solide cristallin de paramètre de maille $a\simeq0{,}2\,\mathrm{nm}$, le cours estime $n_v\simeq10^{23}\,\mathrm{m^{-3}}$ et une aimantation à saturation d’environ $10^6\,\mathrm{A/m}$.

📖 4. Champ terrestre et aurores polaires

★ À maîtriser

• Le champ terrestre est produit par des courants associés aux mouvements de matière magnétique et de particules partiellement chargées dans le noyau externe liquide, et ressemble à celui d’un dipôle d’axe Nord-Sud.

• Les particules chargées émises par le Soleil sont piégées par la magnétosphère, guidées vers les pôles le long des lignes de champ, puis ionisent les atomes de la haute atmosphère, qui émettent des photons en revenant à un état stable.

Compléments

• L’axe magnétique terrestre est inversé par rapport aux pôles géographiques et incliné d’environ 11° par rapport au Nord géographique.

• À Paris, les lignes du champ terrestre sont inclinées vers le sol d’environ 64° par rapport à l’horizontale.

• Le pôle Nord magnétique se déplace d’environ 40 km par an, ce qui rend nécessaire une carte actualisée des déclinaisons pour une orientation précise.

• Les aurores sont généralement bleu-vert, parfois orangées selon l’altitude d’ionisation, et s’observent surtout près du cercle polaire, mais parfois jusque dans le sud de l’Europe.

💡 Astuce mémo

Particules solaires piégées → guidées vers les pôles → ionisation → photons.

📖 5. Théorème d’Ampère et conducteurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème d’Ampère s’écrit $\oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0 I_{\mathrm{enlacé}}$ ; le signe du courant enlacé dépend de l’orientation du contour.

• Avant d’appliquer le théorème d’Ampère, il faut étudier les symétries pour déterminer la direction de B et les invariances pour déterminer ses variables.

Compléments

• Le cours prévoit l’étude du champ créé par un fil infini parcouru par un courant, sa comparaison avec le champ électrique d’un fil infini chargé, et le champ d’un câble épais infini parcouru par un courant, sans fournir ici leurs résultats détaillés.

📖 6. Solénoïde, inductance et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Inductance : Relie son flux total à son courant selon $\Phi_{\mathrm{bobine}}=LI$.

★ À maîtriser

• Dans un solénoïde long sans effet de bord, le champ est parallèle à l’axe, uniforme et égal à $\mu_0 nI$ à l’intérieur, tandis qu’il est nul à l’extérieur.

📐 Formule - Pour un solénoïde long de N spires, de section S et de longueur d, l’inductance vaut $L=\frac{\mu_0N^2S}{d}$.

📐 Formule - L’énergie magnétique d’une bobine parcourue par un courant i vaut $\mathcal E_{\mathrm{bobine}}=\frac12Li^2$.

Compléments

📐 Formule - La densité volumique d’énergie magnétique vaut $w_{\mathrm{magn}}=\frac{B^2}{2\mu_0}$ et, dans le solénoïde étudié, l’énergie du champ est stockée à l’intérieur de la bobine.

📖 7. Opérateurs différentiels et théorèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence : Scalaire $\operatorname{div}\vec A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$.
• Laplacien : Le laplacien d’un scalaire vérifie $\Delta V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}$ et peut aussi s’appliquer à un champ vectoriel.

★ À maîtriser

📌 Le champ magnétique vérifie $\operatorname{div}\vec B=0$, forme locale de sa propriété de flux conservatif appelée loi de Maxwell-Thomson dans le cours.

📌 La forme locale du théorème d’Ampère relie le rotationnel du champ magnétique à la densité de courant selon $\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j$.

Compléments

📌 Le théorème de Green-Ostrogradsky relie le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée à l’intégrale volumique de sa divergence.

• Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ vectoriel sur un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface s’appuyant sur ce contour.

• La notation nabla permet d’écrire le gradient sous la forme $\vec{\nabla}f$, la divergence sous la forme $\vec{\nabla}\cdot\vec A$ et le laplacien scalaire sous la forme $\vec{\nabla}^{2}V$.