Fiche de révision : Thalès et calcul littéral

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès
2. Configurations et rapports de Thalès
3. Calculs de longueurs avec Thalès
4. Distributivité et factorisation
5. Réduction des produits et sommes
6. Développement et opposé littéral
7. Expressions en fonction de x
8. Double distributivité

📖 1. Théorème de Thalès

📝 Points essentiels

📌 Si A, M, B sont alignés, si A, N, C sont alignés et si (MN) est parallèle à (BC), alors les rapports correspondants vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📖 2. Configurations et rapports de Thalès

★ À maîtriser

• Dans la configuration des triangles emboîtés, AMN est un agrandissement ou une réduction de ABC, et les côtés correspondants sont proportionnels.

Compléments

• Lorsque N, M, W sont alignés, V, M, Z sont alignés et (WZ) est parallèle à (VN), les rapports correspondants sont $\frac{NM}{MW}=\frac{VM}{MZ}=\frac{VN}{WZ}$.

💡 Astuce mémo

Triangles emboîtés : les sommets partagent A ; papillon : les droites se croisent en M ou R.

📖 3. Calculs de longueurs avec Thalès

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur avec Thalès, on écrit l’égalité des rapports correspondants, on remplace les longueurs connues, puis on isole l’inconnue par produit en croix.

Compléments

• Si AM = 2 cm, AN = 3 cm et AB = 5 cm dans la configuration de Thalès, alors AC = 7,5 cm.

• Si HJ = 9 cm, KJ = 3,6 cm, JL = 2,4 cm, HI = 5 cm et (HI) est parallèle à (KL), alors JI = 6 cm et KL = 2 cm.

📖 4. Distributivité et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Transformer une expression en produit.

★ À maîtriser

📐 Formule - La simple distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$ et permet aussi de transformer $ka+kb$ en $k(a+b)$.

• Pour factoriser par simple distributivité, on repère un facteur commun à plusieurs termes et on le met en facteur.

Compléments

• Dans $12x-30$, le facteur commun 6 permet d’obtenir $6(2x-5)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait le chemin inverse.

📖 5. Réduction des produits et sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction d’un produit : Écrire un produit avec le moins de facteurs possible, l’ordre des facteurs n’ayant pas d’importance.
• Réduction d’une somme : Écrire une somme avec le moins de termes possible en regroupant ceux qui peuvent l’être ensemble.

📝 Points essentiels

• Pour réduire un produit, on réordonne les facteurs, on multiplie les nombres entre eux et on regroupe les lettres identiques.

• Le produit $7\times x\times 5\times x$ se réduit à $35x^2$.

• Pour réduire une somme, on regroupe les termes de même famille et on additionne ou soustrait leurs coefficients.

• L’expression $5x^2+7x-4-2x^2+3+4x$ se réduit à $3x^2+11x-1$.

📖 6. Développement et opposé littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Transformer une expression en somme de termes.
• Opposé d’une expression littérale : La somme des opposés de chacun des termes de l’expression.

📝 Points essentiels

• En appliquant la simple distributivité, $4(5x-3)$ devient $20x-12$.

• L’opposé de $5x^2-2x+7$ est $-5x^2+2x-7$.

📖 7. Expressions en fonction de x

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression en fonction de x : Écrire une formule dépendant de x qui permet de trouver la quantité à partir de x.

📝 Points essentiels

• Pour un rectangle de côtés 3x et x + 2, l’aire exprimée en fonction de x est $3x(x+2)$.

• Pour un triangle de base 4 + x et de hauteur x, l’aire exprimée en fonction de x est $\frac{(4+x)x}{2}$.

📖 8. Double distributivité

★ À maîtriser

📐 Formule - La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

• Pour développer deux sommes multipliées, on multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde, puis on réduit les termes obtenus.

Compléments

• Le développement de $(2x-3)(5x+7)$ se réduit à $10x^2-x-21$.

• Le développement de $(2x-3)(2x+3)$ se réduit à $4x^2-9$.

• Pour développer le carré d’une expression, on écrit son carré comme le produit de deux facteurs identiques, puis on applique la double distributivité.