Fiche de révision : Champ magnétostatique et théorème d’Ampère

📋 Plan du Cours

1. Sources et propriétés du champ magnétique
2. Symétries et invariances magnétiques
3. Lignes et cartes du champ magnétique
4. Dipôles et moments magnétiques
5. Aimantation et champ terrestre
6. Théorème d’Ampère et applications
7. Solénoïde, inductance et énergie
8. Opérateurs différentiels et théorèmes

📖 1. Sources et propriétés du champ magnétique

★ À maîtriser

• En régime statique, un champ magnétique peut être produit par un aimant permanent ou par un courant électrique circulant dans une boucle fermée.

• Le champ magnétique terrestre est de l’ordre de $5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$, celui d’un aimant permanent usuel de 0,1 à 1 T et celui d’un laboratoire de recherche ou d’une IRM de 1 à 10 T.

📌 Le principe de superposition s’applique au champ magnétique parce que les équations fondamentales de l’électromagnétisme, les équations de Maxwell, sont linéaires.

• Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul, tandis que le flux à travers une surface ouverte ne dépend que de son contour.

Compléments

• Le champ magnétique s’exprime en teslas et sa dimension est $\mathrm{kg\,A^{-1}\,s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

Aimant permanent ou courant en boucle : deux sources distinctes de B.

📖 2. Symétries et invariances magnétiques

★ À maîtriser

📌 Les règles de symétrie du champ magnétique sont opposées à celles du champ électrique, tandis que les invariances par translation et par rotation sont les mêmes pour les deux champs.

📌 Les invariances de la distribution de courant déterminent les variables dont dépend le champ magnétique.

Compléments

📌 La recherche d’un plan de symétrie ou d’antisymétrie de la distribution de courant permet de déterminer la direction du champ magnétique en un point.

• Pour un fil infini parcouru par un courant, le champ magnétique s’écrit sous la forme $\vec B(H)=B(r)\vec U_0$.

💡 Astuce mémo

Les symétries de B s’opposent à celles de E, mais leurs invariances coïncident.

📖 3. Lignes et cartes du champ magnétique

📝 Points essentiels

• Les lignes de champ magnétostatique sont des courbes fermées qui enlacent les courants ou traversent un aimant équivalent.

📌 Comme le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul, les lignes de champ ne convergent ni ne divergent en un point et il n’existe pas de source ponctuelle de champ magnétique.

📌 Plus les lignes de champ magnétique sont serrées, plus le champ est fort.

💡 Astuce mémo

Des boucles fermées enlacent les courants sans jamais commencer ni finir en un point.

📖 4. Dipôles et moments magnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment magnétique : Associé à un circuit fermé de petite taille devant la distance d’étude, indéformable, de section projetée S et parcouru par un courant i.

★ À maîtriser

📌 Dans un champ magnétique extérieur, un dipôle magnétique s’aligne dans la direction et le sens du champ et est entraîné vers les zones où celui-ci est fort.

• Le magnéton de Bohr, $\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$, donne l’ordre de grandeur des moments magnétiques atomiques et vaut environ $9{,}2\times10^{-24}\ \mathrm{A\,m^2}$.

Compléments

📐 Formule - Loin d’un dipôle magnétique, son champ s’écrit $\vec{B}\simeq\frac{\mu_0 m\cos\theta}{2\pi r^3}\vec e_r+\frac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^3}\vec e_\theta$, avec $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$.

• Le moment magnétique d’une spire de surface 10 cm² parcourue par un courant de 1 A est de l’ordre de $10^{-3}\ \mathrm{A\,m^2}$.

• Le moment magnétique d’un aimant permanent usuel est de l’ordre de 1 à 10 A·m² et celui de la Terre est de l’ordre de $8\times10^{22}\ \mathrm{A\,m^2}$.

📐 Formule - Dans le modèle planétaire de l’atome d’hydrogène, le moment magnétique orbital vérifie $\vec m=-\frac{e}{2m_e}\vec L$.

💡 Astuce mémo

Le champ extérieur aligne le dipôle et l’entraîne vers les zones où B est fort.

📖 5. Aimantation et champ terrestre

🔑 Notions clés & Définitions

• Aimantation : La densité volumique de moment magnétique dans un matériau.

★ À maîtriser

• Le champ terrestre est produit par des courants liés aux mouvements de matière magnétique et de particules partiellement chargées dans le noyau externe liquide de la Terre.

• Les aurores boréales résultent de l’ionisation des atomes de la haute atmosphère par des particules solaires guidées vers les pôles par le champ terrestre, puis de l’émission de photons lorsque les atomes excités reviennent à un état stable.

Compléments

📐 Formule - Pour un matériau dont les atomes portent chacun un moment magnétique moyen m, l’aimantation vaut $M=n_v m$, où $n_v$ est la densité volumique d’atomes.

• Pour un solide cristallin de paramètre de maille d’environ 0,2 nm, la densité volumique estimée est $n_v\simeq10^{23}\ \mathrm{m^{-3}}$.

• L’aimantation à saturation estimée dans le cours est de l’ordre de $10^6\ \mathrm{A\,m^{-1}}$, et le moment magnétique total d’un aimant d’un volume de $10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ est d’environ 1 A·m².

📐 Formule - L’ordre de grandeur de la force surfacique d’adhérence d’un aimant est donné par $F/S\sim\mu_0M^2$, soit environ $10^6\ \mathrm{Pa}$ pour $M\sim10^6\ \mathrm{A\,m^{-1}}$.

• L’axe magnétique terrestre est inversé par rapport aux pôles géographiques et incliné d’environ 11° par rapport à l’axe Nord-Sud géographique.

• À Paris, les lignes du champ terrestre sont inclinées vers le sol de 64° par rapport à l’horizontale, et le pôle Nord magnétique se déplace d’environ 40 km par an.

💡 Astuce mémo

Les courants du noyau externe produisent le champ terrestre, qui guide les particules vers les pôles.

📖 6. Théorème d’Ampère et applications

★ À maîtriser

📌 Avant d’appliquer le théorème d’Ampère, il faut déterminer les symétries qui donnent la direction du champ et les invariances qui en déterminent les variables.

📐 Formule - Le théorème d’Ampère s’écrit $\oint_\Gamma\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enlacé}}$.

Compléments

📌 L’orientation du contour d’Ampère fixe le signe du courant enlacé.

📖 7. Solénoïde, inductance et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Inductance : La grandeur L qui relie le flux total de la bobine au courant par $\Phi_{\mathrm{bobine}}=LI$.

★ À maîtriser

📌 Dans un solénoïde long idéal, la symétrie impose un champ parallèle à l’axe de la bobine et les invariances rendent ce champ indépendant des coordonnées le long de l’axe et autour de celui-ci.

• Dans le modèle du solénoïde long sans effet de bord, le champ magnétique est nul à l’extérieur et uniforme à l’intérieur, avec $B_{\mathrm{int}}=\mu_0 nI=\mu_0\frac{N}{d}I$.

📐 Formule - Pour un solénoïde long de N spires, de longueur d et de section S, l’inductance vaut $L=\frac{\mu_0N^2S}{d}$.

📐 Formule - L’énergie magnétique d’une bobine parcourue par un courant i est $\mathcal E_{\mathrm{bobine}}=\frac12Li^2$.

📐 Formule - La densité volumique d’énergie du champ magnétique vaut $w_{\mathrm{magn}}=\frac{B^2}{2\mu_0}$, et l’énergie du champ d’un solénoïde idéal est stockée à l’intérieur de la bobine.

Compléments

• Pour une bobine de TP ayant $N=10^3$ spires, $S=5\ \mathrm{cm^2}$ et $d=0{,}4\ \mathrm m$, le cours estime une inductance d’environ 0,5 mH.

💡 Astuce mémo

Dans le solénoïde idéal, B existe à l’intérieur et s’annule à l’extérieur.

📖 8. Opérateurs différentiels et théorèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence : Le scalaire $\operatorname{div}\vec A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$.
• Rotationnel : Un vecteur différentiel, noté $\operatorname{rot}\vec A$, associé à la circulation de ce champ.
• Laplacien : $\Delta V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}$.
• Opérateur nabla : En coordonnées cartésiennes, $\vec\nabla=\vec e_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec e_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec e_z\frac{\partial}{\partial z}$.

★ À maîtriser

📌 Le caractère conservatif du flux magnétique implique $\operatorname{div}\vec B=0$, relation identifiée dans le cours à la loi de Maxwell-Thomson.

📌 Le théorème d’Ampère conduit à la relation locale $\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j$, appelée loi de Maxwell-Ampère dans le cours.

Compléments

📌 Le théorème de Green-Ostrogradsky relie le flux de $\vec A$ à travers une surface fermée au volume de l’intégrale de sa divergence : $\oint_\Sigma\vec A\cdot d\vec S=\iiint_V\operatorname{div}\vec A\,dV$.

📌 Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ vectoriel sur un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface bordée par ce contour.

📐 Formule - Le laplacien vérifie $\Delta V=\operatorname{div}(\operatorname{grad}V)$ et $\Delta\vec A=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec A)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec A)$.